Выборочные средние значения компонент

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru ;

Выборочные дисперсии компонент

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru

или

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru ;

Выборочный корреляционный момент

выборочные средние значения компонент - student2.ru

или

выборочные средние значения компонент - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции

выборочные средние значения компонент - student2.ru ;

Условные средние компонент

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

где усреднение ведется в 1-ой формуле лишь по тем выборочные средние значения компонент - student2.ru , которые появились совместно с данным у, а во 2-ой формуле лишь по тем выборочные средние значения компонент - student2.ru , которые появились совместно с данным х.

Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей и может быть использована для прогнозирования значений одной из СВ, если известны значения другой СВ. Точность такого прогноза определяется условной дисперсией. Однако возможности практического применения функции регрессии весьма ограничены, так как для ее использования необходимо знать аналитический вид двумерного распределения выборочные средние значения компонент - student2.ru . Поэтому идут на упрощение и вместо корреляционной зависимости рассматривают статистическую зависимость, которая устанавливает функциональную связь между значениями одной из величин и условным средним другой величины, например

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

эта функция называется эмпирической функцией регрессии, а ее график – эмпирической линией (кривой) регрессии. На практике получают лишь оценку кривой регрессии, так как число значений величины Х в выборке конечно.

Функция регрессии обладает замечательным свойством – она дает наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза, т.е. величина

выборочные средние значения компонент - student2.ru

является минимальной именно для функции

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

На этом свойстве построен метод наименьших квадратов для определения неизвестных параметров функции регрессии.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в выборе линии регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от теоретических была наименьшей.

Для иллюстрации метода рассмотрим частный случайлинейной регрессии

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

По данным выборки требуется определить параметры а и b.

Строим функцию выборочные средние значения компонент - student2.ru :

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Используя корреляционную таблицу функцию выборочные средние значения компонент - student2.ru можно записать в виде

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Составляем необходимые условия экстремума:

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

После упрощения система примет вид:

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Последнюю систему называютнормальной,решая ее получаем значения неизвестных коэффициентов а и b.

Уравнение регрессии можно также найти путем вычисления коэффициента регрессии. Уравнение регрессии у на х можно записать в виде

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Число выборочные средние значения компонент - student2.ru называют коэффициентом регрессииу на х.

Пример

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом выборочные средние значения компонент - student2.ru измерений задана корреляционной таблицей:

Таблица 5

Y X 4,2 5,4 6,6 7,8 выборочные средние значения компонент - student2.ru
1,2
4,8
6,6
8,4
10,2
выборочные средние значения компонент - student2.ru

1. Найти выборочные средние выборочные средние значения компонент - student2.ru и выборочные дисперсии выборочные средние значения компонент - student2.ru .

2. Построить уравнение линии регрессии уна х в виде выборочные средние значения компонент - student2.ru .

3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки выборочные средние значения компонент - student2.ru и построить прямую выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Решение

1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:

выборочные средние значения компонент - student2.ru 1,2 4,8 6,6 8,4 10,2
выборочные средние значения компонент - student2.ru
выборочные средние значения компонент - student2.ru 4,2 5,4 6,6 7,8
выборочные средние значения компонент - student2.ru

Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочные средние значения компонент - student2.ru ;

выборочные дисперсии:

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,
выборочные средние значения компонент - student2.ru

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочные средние значения компонент - student2.ru

2. Найдем уравнение линии регрессии выборочные средние значения компонент - student2.ru у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выше при вычислении числовых характеристик было найдено:

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Используя корреляционную таблицу каждому варианту выборочные средние значения компонент - student2.ru признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое выборочные средние значения компонент - student2.ru соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).

Таблица 6

выборочные средние значения компонент - student2.ru 1,2 4,8 6,6 8,4 10,2
выборочные средние значения компонент - student2.ru 3,72 4,10769 4,875 5,9333 6,03157 6,36 7,4

Вычислим:

выборочные средние значения компонент - student2.ru

выборочные средние значения компонент - student2.ru

Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Решим систему по формулам Крамера:

выборочные средние значения компонент - student2.ru

тогда

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Найдем:

выборочные средние значения компонент - student2.ru , выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочный корреляционный момент найдем по формуле

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

в нашем случае

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

в нашем случае

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим выборочные средние значения компонент - student2.ru :

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

следовательно, связь достаточно вероятна.

Подставим найденные значения выборочные средние значения компонент - student2.ru в уравнение

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

получим

выборочные средние значения компонент - student2.ru ,

после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х

выборочные средние значения компонент - student2.ru .

3. Изобразим корреляционное поле и построим прямую выборочные средние значения компонент - student2.ru (рис. 3).

выборочные средние значения компонент - student2.ru

Рис. 3

Краткое содержание (программа) курса

Математическая статистика

Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд.Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия выборочные средние значения компонент - student2.ru (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.

Приложение 1

Значения функции Лапласа

выборочные средние значения компонент - student2.ru

х F(х) х F(х) х F(х) х F(х)
0,00 0,0000 0,30 0,2358 0,60 0,4515 0,90 0,6319
0,01 0,0080 0,31 0,2434 0,61 0,4581 0,91 0,6372
0,02 0,0160 0,32 0,2510 0,62 0,4647 0,92 0,6424
0,03 0,0239 0,33 0,2586 0,63 0,4713 0,93 0,6476
0,04 0,0319 0,34 0,2661 0,64 0,4878 0,94 0,6528
0,05 0,0399 0,35 0,2737 0,65 0,4843 0,95 0,6579
0,06 0,0478 0,36 0,2812 0,66 0,4907 0,96 0,6629
0,07 0,0558 0,37 0,2886 0,67 0,4971 0,97 0,6680
0,08 0,0638 0,38 0,2961 0,68 0,5035 0,98 0,6729
0,09 0,0717 0,39 0,3035 0,69 0,5098 0,99 0,6778
0,10 0,0797 0,40 0,3108 0,70 0,5161 1,00 0,6827
0,11 0,0876 0,41 0,3182 0,71 0,5223 1,01 0,6875
0,12 0,0955 0,42 0,3255 0,72 0,5285 1,02 0,6923
0,13 0,1034 0,43 0,3328 0,73 0,5346 1,03 0,6970
0,14 0,1113 0,44 0,3401 0,74 0,5407 1,04 0,7017
0,15 0,1192 0,45 0,3473 0,75 0,5467 1,05 0,7063
0,16 0,1271 0,46 0,3545 0,76 0,5527 1,06 0,7109
0,17 0,1350 0,47 0,3616 0,77 0,5587 1,07 0,7154
0,18 0,1428 0,48 0,3688 0,78 0,5646 1,08 0,7199
0,19 0,1507 0,49 0,3759 0,79 0,5705 1,09 0,7243
0,20 0,1585 0,50 0,3829 0,80 0,5763 1,10 0,7287
0,21 0,1663 0,51 0,3899 0,81 0,5821 1,11 0,7330
0,22 0,1741 0,52 0,3969 0,82 0,5878 1,12 0,7373
0,23 0,1819 0,53 0,4039 0,83 0,5935 1,13 0,7415
0,24 0,1897 0,54 0,4108 0,84 0,5991 1,14 0,7457
0,25 0,1974 0,55 0,4177 0,85 0,6047 1,15 0,7499
0,26 0,2051 0,56 0,4245 0,86 0,6102 1,16 0,7540
0,27 0,2128 0,57 0,4313 0,87 0,6157 1,17 0,7580
0,28 0,2205 0,58 0,4381 0,88 0,6211 1,18 0,7620
0,29 0,2282 0,59 0,4448 0,89 0,6265 1,19 0,7660
х F(х) х F(х) х F(х) х F(х)
1,20 0,7699 1,50 0,8664 1,80 0,9281 2,50 0,9876
1,21 0,7737 1,51 0,8690 1,81 0,9297 2,55 0,9892
1,22 0,7775 1,52 0,8715 1,82 0,9312 2,60 0,9907
1,23 0,7813 1,53 0,8740 1,83 0,9328 2,65 0,9920
1,24 0,7850 1,54 0,8764 1,84 0,9342 2,70 0,9931
1,25 0,7887 1,55 0,8789 1,85 0,9357 2,75 0,9940
1,26 0,7923 1,56 0,8812 1,86 0,9371 2,80 0,9949
1,27 0,7959 1,57 0,8836 1,87 0,9385 2,85 0,9956
1,28 0,7995 1,58 0,8859 1,88 0,9399 2,90 0,9963
1,29 0,8029 1,59 0,8882 1,89 0,9412 2,95 0,9968
1,30 0,8064 1,60 0,8904 1,90 0,9426 3,00 0,9973
1,31 0,8098 1,61 0,8926 1,91 0,9432 3,10 0,9981
1,32 0,8132 1,62 0,8948 1,92 0,9451 3,20 0,9986
1,33 0,8165 1,63 0,8969 1,93 0,9464 3,30 0,9990
1,34 0,8198 1,64 0,8990 1,94 0,9476 3,40 0,9993
1,35 0,8230 1,65 0,9011 1,95 0,9488 3,50 0,9995
1,36 0,8262 1,66 0,9031 1,96 0,9500 3,60 0,9997
1,37 0,8293 1,67 0,9051 1,97 0,9512 3,70 0,9998
1,38 0,8324 1,68 0,9070 1,98 0,9523 3,80 0,9999
1,39 0,8355 1,69 0,9090 1,99 0,9534 3,90 0,9999
1,40 0,8385 1,70 0,9109 2,00 0,9545 4,00 0,9999
1,41 0,8415 1,71 2,05 0,9596 4,42 1-10-5
1,42 0,8444 1,72 0,9146 2,10 0,9643 4,89 1-10-6
1,43 0,8473 1,73 0,9164 2,15 0,9684 5,33 1-10-7
1,44 0,8501 1,74 0,9181 2,20 0,9722    
1,45 0,8529 1,75 0,9199 2,25 0,9756    
1,46 0,8557 1,76 0,9216 2,30 0,9786    
1,47 0,8584 1,77 0,9233 2,35 0,9812    
1,48 0,8611 1,78 0,9249 2,40 0,9836    
1,49 0,8638 1,79 0,9265 2,45 0,9857    

Приложение 2

Таблица значений c2 в зависимости от r=n-1 и p.

р
n-1 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83
0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 0,713 1,386 2,41 3,22 4,60 5,99 7,82 9,21 13,82
0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,37 3,66 4,64 6,25 7,82 9,34 11,84 16,27
0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,46
0,554 0,752 1,145 1,610 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,5
0,872 1,134 1,635 2,20 3,07 3,93 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,5
1,239 1,564 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,3
1,646 2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,1 26,1
2,09 2,53 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,7 27,9
2,56 3,06 3,94 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,2 23,2 29,6
3,05 3,61 4,58 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28 19,68 22,6 24,7 31,3
3,57 4,18 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,0 24,1 26,2 32,9
4,11 4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,4 25,5 27,7 34,6
4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,1 23,7 26,9 29,1 36,1
5,23 5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,3 25,0 28,3 30,6 37,7
5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,5 23,5 26,3 29,6 32,0 39,3
6,41 7,26 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34 19,51 21,6 24,8 27,6 31,0 33,4 40,8
7,02 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,6 22,8 26,0 28,9 32,3 34,8 42,3
7,63 8,57 10,11 11,65 13,72 15,35 18,34 21,7 23,9 27,2 30,1 33,7 36,7 43,8
8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,8 25,0 28,4 31,4 35,0 37,6 45,3
8,90 9,92 11,59 13,24 15,44 17,18 20,3 23,9 26,2 29,6 32,7 36,3 38,9 46,8
9,54 10,60 12,34 14,04 16,31 18,10 21,3 24,9 27,3 30,8 33,9 37,7 40,3 48,3
10,20 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,3 26,0 28,4 32,0 35,2 39,0 41,6 49,7
10,86 11,99 13,85 15,66 18,06 19,94 23,3 27,1 29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 51,2
11,52 12,70 14,61 16,47 18,94 20,9 24,3 28,2 30,7 34,4 37,7 41,7 44,3 52,6
12,20 13,41 15,38 17,29 19,82 21,8 25,3 29,2 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54,1
12,88 14,12 16,15 18,11 20,7 22,7 26,3 30,3 32,9 36,7 40,1 44,1 47,0 55,5
13,56 14,85 16,93 18,94 21,6 23,6 27,3 31,4 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 56,9
14,26 15,57 17,71 19,77 22,5 24,6 28,3 32,5 35,1 39,1 42,6 46,7 49,6 58,3
14,95 16,31 18,49 20,6 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8 48,0 50,9 59,7
                               

Наши рекомендации