Тема. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

21-30. Найдите производные функций.

21. а) ); б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б) y=(tgx)^cosx;

25. а) б) y=(arcsinx) ;

26. а) б) y=(х⁴+5)^ctgx;

27. а) б) y=(cos5x) ;

28. а) б) ;

29. а) б) y=(ctg3x)^lnx;

30. а) ; б)

31-40. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

Вычислить приближенные значения функций:

31. , при х=2,56;

32. , при х=1,58;

33. , при х=1,97;

34. , при х=0,97;

35. , при х=1,78;

36. , при х=4,16;

37. , при х=1,97;

38. , при х=1,03;

39. , при х=0,01;

40. , при х=0,98.

41-50. Используя правило Лопиталя, найти пределы функций.

41 а) ; б) .

42 а) ; б) .

43 а) ; б) .

44 а) ; б) .

45 а) ; б) .

46 а) ; б) .

47 а) ; б) .

48 а) ; б) .

49 а) ; б) .

50 а) ; б) .

Вычислить интегралы (1-10; 11-20; 21-30;)

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) , 19) ,

20) , 21) , 22) , 23) ,

24) , 25) , 26) , 27) , 28) , 29) , 30) .

2.1События: А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный; В – все приборы доброкачественные. Что означают события: А+В, А^.В?

2.2События: А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное; В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

2.3Когда возможно равенство АВ = А?

2.4Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выиграет первый игрок, В – выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.5Назвать противоположные для следующих событий: А – выпадение двух гербов при одном бросании двух монет; В – ровно одно попадание в мишень при одном залпе двух стрелков;С – извлечение двух шаров одного цвета из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров.

2.6Завод выпускает определенного вида изделия. Какое изделие может иметь дефект первого рода (событие А) или дефект второго рода (событие В). Что означают следующие события: А+В; АВ; ? Выразить событие С – изделие не имеет дефектов – через рассмотренные события.

2.7По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события A_i – попадания при i-ом выстреле (i=1;2;3). Представить следующие события: A– все три попадания;

B – все три промаха;

C – хотя бы одно попадание;

D – ровно два попадания.

2.8Наудачу отобранная деталь может оказаться деталью 1-го сорта (событие А), 2-го сорта (событие В) или 3-го сорта (событие С). В чем состоят события: А+В; ; АВ+С?

2.9Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А – выбранное число делится на 5. Событие В – данное число оканчивается нулем. Какие из указанных равенств являются правильными:

А + В = А; АВ = А; А + В = В; АВ = В?

2.10Два стрелка стреляют по одной цели, событие А – попадание первого стрелка в цель, событие В – попадание второго стрелка в цель. В чем состоят события:

2.11Событие А состоит в том, что студент – юноша.

Событие В – юноша не курит; событие С – юноша живет в общежитии.В чем состоит событие ?При каком условии ;

2.12Из первых ста натуральных чисел наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что это число делится хотя бы на одно из чисел 2 и 3?

Решить, используя теорему сложения вероятностей.

Ответ: 0,67

2.13 Вчитальном зале 6 учебников по теории вероятностей, из них 3 в переплете. Взяты наугад 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника находятся в переплете.

Ответ: 0,2

2.14Продавец обслуживает в магазине два отдела. Вероятность того, что в течение часа ему придется отпустить товар из первого отдела, равна 0,7; из второго отдела – 0,9. Какова вероятность, что в течение часа продавец отпустит товар из обоих отделов? Какова вероятность, что в течение часа он вообще не будет отпускать товар?

Ответ: 0,63; 0,03

2.15В некотором производстве, изготовляющем массовое количество

изделий, 96% всей продукции составляет стандартная продукция, 85% стандартной продукции составляют изделия первого сорта. Случайным образом отбирается одно изделие. Какова вероятность, что оно окажется изделием первого сорта? Ответ: 0,816

2.16Рабочий обслуживает 2 станка. Вероятность того, что в течение

часа один станок потребует его внимания, равна 0,2; другой – 0,3. Какова вероятность, что в течение часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего? Ответ: 0,44

2.17Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что станок (любой) в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего:

а) все четыре станка;

б) ни один станок;

в) по крайней мере, один станок.

Ответ: 0,1296; 0,0256, 0,9744

2.18Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,3; вторым – 0,7. Два стрелка стреляют одновременно. Какова вероятность того, что цель не будет поражена?

Ответ: 0,79

2.19В магазин поступило 14 телевизоров, из которых 5 требуют дополнительной регулировки. Какова вероятность того, что среди двух отобранных случайным образом для продажи телевизоров потребуют регулировки:

а) хотя бы один телевизор;

б) оба телевизора.

Ответ: 0,6; 0,11

2.20Завод изготовляет определенного типа изделия, причем каждое изделие с вероятностью Р₁ может иметь дефект. После изготовления изделие осматривается контролером, который обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью Р₂. В случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Если же дефект не обнаружен, то изделие пропускается в готовую продукцию. Определить вероятность того, что выбранное наугад изделие с дефектом пропущено в готовую продукцию.

Ответ: Р₁(1-Р₂)

2.21Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле (вероятность попадания не меняется от выстрела к выстрелу).

Ответ: 0,5

2.22Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время:

а) совместной работы комбайнов;

б) работы только одного комбайна;

в) простоя двух комбайнов.

Ответ: 0,48; 0,44; 0,08

2.23Имеется 25 электрических лампочек, из которых 4 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Ответ: 0,02

2.24При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов; вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Определить вероятность того, что разрыва цепи не произойдет.

Ответ: 0,336

2.25В лотерее участвует 1000 билетов, из которых на один билет выпадает выигрыш 200 руб., на 10 билетов – 50 руб., на 20 билетов – 10 руб. На остальные билеты выпадает выигрыш 1 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 10 руб. при покупке одного билета.

Ответ: 0,031

2.26Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания при одном выстреле в первую зону равна 0,18, во вторую – 0,22, в третью – 0,3. Определить вероятность промаха.

Ответ: 0,3

2.27Партия из ста деталей подвергается контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной дефектной детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия не будет принята, если она содержит три процента дефектных деталей?

Ответ: ≈ 0,1164

2.28Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20 % – юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

Ответ: 0,16

2.29Три исследователя, независимо один от другого, производят измерение некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показателей прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

Ответ: 0,388

Вопросы к Экзамену.

1 n-мерный вектор и его свойства.

2 Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость. Базис.

3 Скалярное произведение векторов и его свойства.

4 Векторное пространство.

5 Виды матриц.

6 Операции над матрицами.

7 Умножение матриц и его свойства.

8 Определители матриц первого, второго и третьего порядков.

9 Теорема Лапласа. Свойства определителей.

10 Эквивалентные преобразования определителей.

11 Алгоритм определения обратной матрицы.

12 Матричные уравнения.

13 Системы линейных уравнений. Основные определения.

14 Метод обратной матрицы. Метод формул Крамера.

15 Метод Гаусса.

16 Эквивалентные преобразования расширенной матрицы системы.

17 Неопределенные системы.

18 Преобразования Жордана-Гаусса.

19 Обращение матрицы.

20 Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования.

21 Теорема Кронеккера-Капелли.

22 Линейный оператор. Основные свойства.

23 Собственный вектор и собственное значение линейного оператора.

24 Квадратичные формы. Закон инерции.

25 Критерий Сильвестра.

26 Межотраслевой баланс. Формула Леонтьева.

27 Продуктивность матрицы материальных затрат.

28 Формула международной торговли и обмена.

29 Линейная модель обмена.

30 Уравнение лини на плоскости

31 Уравнение прямой.

32 Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

33 Кривые второго порядка.

34 Уравнение плоскости.

35 Уравнение линии в пространстве.

36 Трехмерные фигуры.

37 Задание одномерных и трехмерных массивов в MSExcel.

38 Матричная алгебра в среде MSExcel .