Teopeмa умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий А₁,.А₂,...А_n, называется событие А₁ А₂... А_n, состоящее в совместном появлении этих событий.

Найдем вероятность произведения двух событий отдельно для зависимых и независимых событий.

Теорема 1.

Вероятность Р(АВ) произведения (совмещения) двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство:

Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. Пусть в первой урне находится n₁ шаров, из которых m₁ цветных, во второй n₂ шаров, из которых m₂ — цветных. Из каждой урны извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара будут цветными?

Пусть событие А - извлечение цветного шара из первой урны.

Событие В — извлечение цветного шара из второй урны.

Событие АВ — извлечение двух цветных шаров / по одному из каждой урны/.

Согласно классическому определению вероятности,

,

n₁ n₂ — общее число возможных случаев извлечения по одному шару из каждой урны (извлечение каждого шара из первой урны сочетается с извлечением n₂ шаров из второй урны). M₁ m₂ — общее число случаев, благоприятствующих появлению красных шаров из обеих урн.

Преобразуем выражение для .

Итак, теорема доказана.

Если имеется n независимых событий А₁, А₂, . . .А_n, то аналогичным образом можно доказать справедливость равенства

Р(А₁А₂...А_n) = P((А₁ А₂...А_n-1)А_n) = P(A₁A₂...A_n-l)P(A_n)=...=P(A₁)P(A₂)...P(A_n).

Пример 1.4.1.

Осуществляется залп по цели из 3 орудий (или производится три выстрела подряд). Событие А — попадание в цель из первого орудия, событие В — попадание в цель из второго орудия, событие С — попадание в цель из третьего орудия. Пусть вероятности этих попаданий одинаковы и равны:

.

Событие ABC — попадание в цель одновременно в трех выстрелах. Вероятность этого события

Р(АВС)=Р(А)=Р(В)=Р(С)=0,9 0,9 0,9=0,729.

Пример 1.4.2.

В урне два шара: цветной и белый. Проводятся повторные n испытаний, в каждом из которых наудачу извлекают шар из урны, (или из n урн) и возвращают его в урну после испытаний. Пусть событие A₁ — извлечение белого шара в первом испытании (или из первой урны), А₂ — извлечение белого шара во втором испытании (или из второй урны) и т.д. Событие А_n — извлечение белого шара в n -ом испытании (или из n-ой урны). Допустим вероятности этих событий

Р (А₁)=Р(А₂)=....=Р(А_n)=Р.

Событие A₁A₂...A_n — извлечение белого шара во всех n - испытаниях (или их всех n урн одновременно).

Вероятность совмещения событий

Р(А₁А₂...А_n)=Р (А₁)Р(А₂)...Р(А_n)=Рⁿ.

Пусть события А и В зависимые. Вероятность появления одного из этих событий зависит от появления или непоявления другого. Введем понятие условной вероятности зависимых событий. Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 1.4.3.

В урне содержится 5 красных и 3 белых шара. Из урны подряд извлекают по шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления красного шара при втором извлечении (событие В),если при первом извлечении появился белый шар (событие А).

Решение:

После первого извлечения в урне осталось 7 шаров, из них 5 красных. Искомая условная вероятность

.

Теорема 2.

Вероятность Р(АВ) произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них Р(В) (или Р(А)) на условную вероятность Р_В (А) или Р_А(В) , вычисленную в предположении, что первое событие В (или А) наступило.

Доказательство:

Доказательство для этой теоремы проведем для схемы урн. Пусть в урне n шаров. Из них m - белых, остальные черные. Из урны извлекаются подряд два шара. Какова вероятность события извлечь подряд два белых шара. Обозначим через АВ ожидаемое событие для нахождения вероятности Р(АВ) и воспользуемся классическим определением понятия вероятности. Полная группа событий состоит из n (n -1) извлечений, поскольку каждое первое из n извлечений шара из урны сочетается с (n -1) вторым извлечением шара из урны. Аналогичное число благоприятствующих извлечений равно m(m-1). Вероятность искомого события

.

Событие В- извлечение белого шара в первом испытании. Вероятность этого события

.

Событие Р_В(А)- извлечение белого шара во втором испытании. Вероятность этого события

.

Для доказательства теоремы преобразуем выражение

.

Вставляя в левую часть последнего выражения Р(В) и Р(А) получим:

Р(АВ)=Р(В)Р_В(А).

Итак, теорема доказана.

Нетрудно распространить доказательство теоремы на произведение трех зависимых событий АВС. Объединим первые два события (АВ)·С, тогда по предыдущей теореме:

Р((АВ)С)=Р(АВ)Р_АВ(С)=Р(В)Р_В(А)-Р_АВ(С).

Таким образом, теорему можно распространить на произвольное число событий A_l А₂...А_n.

Пример 1.4.4.

У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение:

Вероятность того, что первый из взятых валиков окажется конусным (событие А):

.

Вероятность того, что второй из валиков окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик -конусный, т.е. условная вероятность равна

.

Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна:

.

Пример1.4.5.

В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появляется белый шар (событие А ), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение:

Вероятность появления белого шара при первом испытании

.

Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, т.е. условная вероятность

.

Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, а при втором - черный:

.

Искомая вероятность

.