Инженерные методы расчета центрально-сжатых стержней

Если изгибающий момент от продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню, возникает только от неточности его изготовления, а расчетные поперечные нагрузки отсутствуют, то его устойчивость можно проверять по схеме центрально-сжатого стержня. Инженерный расчет таких стержней на устойчивость имеет вид условия [6, 8, 10]:

(9.9)

Здесь , -— расчетные значения продольного уси­лия в стержне, вычисленные по нагрузкам II расчетногослучая (п. 6.1) в соответствующей системе расчетов; — коэффициент продольного изгиба, который находят как

(9.10)

Где

(9.11)

— коэффициент, показывающий, во сколько раз критиче­ское напряжение меньше предела текучести; < 1 — коэффициент, который отражает влияние изгибающих мо­ментов, возникающих в результате неточности приложе­ния продольной нагрузки и непрямолинейности оси стерж­ня; [ ] — допускаемое напряжение по (7.2). Коэффициенты надежности в зависимости от возможности возникновения дополнительных изгибающих моментов, . Коэффициент находится по табл. 1.3, где счита­ется, что значительными последствиями сопровождается потеря устойчивости статически определимых стержней, поясов ферм, а незначительными — статически неопреде­лимых или вспомогательных. Следует обратить внимание на то, что правая часть условий (9.9) не зависит от проч­ности стали. Так, для СРДН

а критическое напряжение (9.12) зависит от геометрии стержня и модуля упругости материала, который у всех строительных сталей одинаковый.

Рассмотрим методику определения коэффициента (9.11). Критическое напряжение для сжатого стержня .Критическая сила для упругого, идеально пря­молинейного, центрально загруженного и шарнирно опер­того стержня находится по формуле (9.3). Для учета иных условий закрепления стержня в эту формулу вместо фак­тической длины стержня Lподставляют эффективную дли­ну .Значения коэффициента ц для различных усло­вий закрепления стержня приведены в табл. 9.1. С учетом указанной корректировки формулы для расчета критиче­ской силы и критического напряжения записываются как

Для преобразования формулы (9.12) удобно использо­вать понятия радиуса инерции и гибкости стержня . При этом получатся

(9.13)

С учетом этого коэффициент (9.11) для идеально упругого, прямолинейного и центрально загруженного стержня находят как (рис. 9.3, а, кривая 1)

(9.12)

Здесь

(9.14)

— условная гибкость стержня.

Формула (9.13) выведена для стержня из идеально упру­гого материала, поэтому при малых значениях гибкости когда потеря устойчивости реального стерж­ня сопровождается развитием пластических деформаций, ее применение не корректно. При меньших гибкостях гра

фик коэффициента описывают экспериментальной переходной прямой (рис. 9.3, а, кривая 2), параметры кото­рой зависят от свойств стали и формы сечения. В области, где нарушение несущей способности стержня наступает в условиях общей текучести, график ограничивается линией = 1 (рис. 9.3, а, кривая 3).

Значения редукционного коэффициента выбраны таким образом, что отражают влияние изгибающих моментов, возникающих вследствие искривления оси стержня со стрелой прогиба . Значение коэффици­ента продольного изгиба (9.10) может быть приближенно найдено по следующим формулам (рис. 9.3, а, кривые 4 и 5), СП 53-102-2004:

(9.15)

В этих формулах следует принимать . Для стержней замкнутого сечения и симметричного незамкнутого = 0,09; для стержней несимметричного сечения из одиночных и сдвоенных прокатных профилей (швеллеров, уголков, тавров) . При считают .

Если условия закрепления стержня во всех направлениях одинаковы, то для расчета на устойчивость выбирают минимальный момент инерции, который дает максимальное значение гибкости А. и соответственно наименьшее кри­тическое напряжение. Если же условия закрепления различны, то необходимо рассмотреть все варианты потери устойчивости. Так, при расчете стержня с (рис. 9.3, б)следует рассмотреть возможность потери устойчивости от- носительно оси у, используя для вычисления гибкости мо­мент инерции Jyи = 0,7 (табл. 9.1, схема 3), и относитель­но оси z,подставляя момент инерции J_zи ц = 2 (схема 1).

Изложенная методика может быть использована также для расчета составных стержней, которые образованы из нескольких ветвей, соединенных решеткой или планками (рис. 9.4). Для сечений, показанных на рис. 9.4, ось у называется материальной (так как она является осью швеллеров, образующих ветви), а ось z— свободной. Гибкость стержня относительно материальной оси и коэффициент вычисляются обычным образом (9.13), (9.15) по геометрическим параметрам швеллеров. Для определения коэффициента продольного изгиба ф₂ по (9.15) необходимо найти приведенную гибкость стержня ,которая для ука­занных сечений вычисляется как: для схемы на рис. 9.4, а

(9.16)

ЗдесьА — площадь сечения стержня (двух швеллеров); — площадь сечения раскосов решетки где – момент инерции сечения одной ветви стержня относительно оси 1-1 (см. рис. 9.4);J_s— момент инерции сечения одной планки относительно собственной оси 2—2; — гибкость всего стержня длиной Lпри изгибе относительно оси z;J_г — момент инерции сечений двух ветвей относительно оси z; — гибкость одной ветви стержня относительно оси 1—1. Размеры a, b,l₀, l₁показаны на рис. 9.4.

Поскольку коэффициент для любых стержней зависит от конфигурации и размеров сечения, то расчет на устой­чивость (9.9) выполняют как проверочный, после выбора сечения стержня. Если условие устойчивости оказывается не выполненным, то производят корректировку сечения или условий закрепления и расчет повторяют.

Использование стержней высокой гибкости приводит к существенному снижению уровня критических напря­жений (рис. 9.3, а) и, следовательно, плохому использова­нию механических свойств материала. Кроме того, стерж­ни большой гибкости (как сжатые, так и растянутые) не удобны в эксплуатации. Они вибрируют при работе маши­ны, легко деформируются при транспортировке и монта-

Таблица 9.2 Значения предельных гибкостей стержней [ ] Элемент конструкции Характер нагружения элемента сжатый растянутый Пояса главных ферм Одностержневые конструкции стрел, мачт, колонн, стоек 120-150 150-180 Остальные стержни главных ферм, пояса вспомогательных ферм 200-250 Прочие стержни 200-250 250-350

же. Поэтому в дополнение к условию устойчивости (9.9) установлены ограничения по значению допустимой гибко­сти стержней (табл. 9.2)

(9.17)

Это условие может быть использовано для выбора сече­ний слабонагруженных элементов или нулевых стержней ферм.

Сжато-изогнутые стержни

Процесс деформирования идеально упругого стержня, за­груженного продольной и поперечной нагрузкой (рис. 9.5, а), не является линейным, и к нему не применим принцип независимости действия сил (п. 2.1.1). Этот процесс можно описать в виде последовательности состояний. Поперечная нагрузка qсоздает изгибающий момент М₀ и перемещение у₀(х). Продольная сила Fна плече у₀(х) создает дополни­тельный изгибающий момент который вызывает увеличение прогиба на величину . Этот дополнительный прогиб приводит к возникновению дополнительного момен­та второго уровня от продольной силы Fна плече и т. д. Таким образом, результирующий момент ока­зывается больше заданного .Этотпроцесс может привести к появлению пластических деформаций в области сжатия или к потере устойчивости стержня. Растягива­ющая продольная сила, наоборот, уменьшает прогиб.

Рис. 9.5. Схема для расчета устойчиво­сти сжато-изогнуто­го стержня

В соответствии с приближенным решением С. П. Тимошенко изгибающий момент в стержне, загруженном поперечной нагрузкой, при сжатии достигнет значения

(9.18)

А при растяжении –

Здесь ,где — критическая сила по (9.12).

Это решение при значениях v< 0,6 может применяться для любых видов поперечного нагружения стержня, а также для расчета стержней с осью, которая искривлена по линии , близкой к синусоиде, при загружении продольной силой F(рис. 9.5, б).

Для машиностроительных конструкций, в которых не допускаются пластические деформации, расчет сжато-изогнутых стержней с погрешностью в запас надежности выполняют по условиям:

по СРДН

(9.19)

По СРПС

(9.20)

Здесь — значения критической силы при потере устойчивости с изгибом относительно осей у и z; — коэффициен­ты, вычисляемые по (9.15) с использованием соответству­ющих значений X, равных или (9.13), (9.14); и — максимальные изгибающие моменты, действующие в наиболее нагруженном сечении стержня. Значения силы Fи изгибающих моментов М_у и М₂ вычисляются по пра­вилам используемой системы расчетов, СРДН или СРПС (п. 1.5.2). Допускаемое напряжение [ ] в (9.19) вычисляется по (7.2). Коэффициенты надежности в (9.20) ; коэффициент y_nдан в табл. 1.3.

Если стержень имеет существенно различные значения моментов инерции (например, ) и изгибается в плос­кости наибольшей жесткости , то он может потерять устойчивость по изгибно-крутильной форме. Для защиты от этого повреждения дополнительно к расчету по (9.19) и (9.20) необходимо выполнить проверку на устой­чивость по условию:

(9.21)

Коэффициент с находится по методике СНиП П-23-81* (п. 5.31).

При расчете сжато-изогнутых конструкций с помощью МКЭ действующие напряжения <Тд_Н и в (9.19) и (9.20) можно вычислить, используя режим расчета «нелинейная статика» (NonlinearStatic).

Пример 9.1. Расчет стрелы с гибкой оттяжкой (рис. 9.6). Геометрические параметры стреловой системы L= 15 м, а= 7,6°, стрела 1 коробчатого сечения с моментами инер­ции J_y= 1,45-10⁸ мм⁴ и J, = 1,15-10⁸ мм⁴. Погоннаянагрузка от собственного веса стрелы и оттяжки q_b= = 0,60 кН/м и q_r=0,15 кН/м. Считаем оттяжку 2 и попе­речный элемент 3 абсолютно жесткими. Рассмотрим два варианта нагружения системы:

1) собственным весом и силой F_г = 20 кН на конце;

2) собственным весом и силами F_z= 20 кН и F_у = 1 кН.

Нагружение 2 (рис. 9.6, а, б): расчетная схема стрелы

для аналитического решения представляет собой двухопор­ную балку. Выполняя расчет по недеформированной схе­ме, найдем:

· силу сжатия стрелы

· максимальный изгибающий момент в стреле

· прогиб стрелы в центре пролета

Критическая сила стрелы при изгибе в вертикальной плоскости (9.12) при (табл. 9.1)

Максимальный изгибающий момент в стреле с учетом дополнительного момента, который создает сила S_bна плече , вычислим по формуле (9.18):

То есть расчетный изгибающий момент увеличился на 17 %.

Нагружение 2 (рис. 9.6, в): горизонтальная нагрузка создает изгибающий момент в корне стрелы M_z0= FyL= 15,0 кН'м (рис. 9.6, г). Характер деформирования стрелы в вертикальной плоскости сохраняется (рис. 9.6, б). В горизонтальной плоскости стрела закреп­лена только в корне и является консолью, для которой (табл. 9.1, п. 1). Критическая сила в этом случае

и изгибающий момент, вычисленный по формуле (9.18),

Однако это решение не корректно, так как оно предпо­лагает, что при изгибе консоли сжимающая сила сохраня­ет свое направление и создает дополнительный изгибающий момент (рис. 9.6, д). Но в данном случае сила S_b,создаваемая оттяжкой, при отклонении конца кон­соли направлена не вдоль оси х, а по линии ОА, поэтому эпюра дополнительного изгибающего момента имеет мень­шее значение (рис. 9.6, е):

Расчет такой конструкции целесообразно выполнять с помощью МКЭ (п. 4.5.3, пример 4.6).