Расчет ферм при действии неподвижной нагрузки

Опорные реакции ферм вычисляются, так же как и для балок или рам, из условия равновесия конструкции в це­лом. Для аналитического определения продольных усилий в стержнях с помощью шарнирных схем применяют метод вырезания узлов или метод сечений, которые по существу являются модификациями одного и того же метода.

Метод вырезания узлов. Этот метод заключается, как это следует из его названия, в вырезании шарнирных узлов рас­четной схемы фермы и рассмотрения условий их равнове­сия. Мысленно вырезав узел, к нему прикладывают неиз­вестные усилия, действующие во всех перерезанных стер­жнях. При этом изначально предполагается, что все стер­жни растянуты, поэтому все усилия, действующие на узел, положительны и направлены от узла (рис. 2.17, а, б). Если в результате решения значение усилия получится отрица­тельным, то это означает, что данный стержень сжат.

Для любого узла плоской системы можно составить только два независимых уравнения равновесия, из которых мож-

Рис. 2.17. Схемы к расчету плоских ферм мето­дом вырезания узлов

но найти два неизвестных усилия. Например, вырезав узел, в котором приложена сила F(рис. 2.17, а, б), можем запи­сать для него

Отсюда находятся значения S₁= 0 и S₂= -F.Минус во втором равенстве означает, что в действительности стер­жень S₂сжат.

Метод вырезания узлов позволяет сделать ряд заклю­чений.

1. Правила определения нулевых стержней. Нулевыми называют стержни, в которых продольное усилие от действу­ющей нагрузки равно нулю. Для плоской фермы есть три правила, которые легко доказываются с помощью условий равновесия узла в любой системе коорди­нат (рис. 2.17, в—д, кружком отмечены нулевые стержни):

• если в ненагруженном узле сходятся два стержня, оси которых не лежат на одной прямой, то оба они нулевые;

• если к узлу, в котором сходятся два стержня, прило­жена сила, действующая вдоль одного из них, то второй стержень нулевой;

• если в ненагруженном узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной линии, то третий стержень нулевой.

Рис. 2.18. Нулевые стержни в фермах

С помощью этих правил можно установить, что в ферме на рис. 2.18, а нулевыми являются девять стержней. Можно также убедиться в том, что момент воспринимается только поясами фермы. То есть при чистом изгибе фермы раскосы и стойки оказываются нулевыми (рис. 2.18, б, в). Сдвига­ющая нагрузка воспринимается и поясами, и раскосами (а в раскосной решетке — и стойками).

Для вырезанного узла пространственной конструкции можно составить три уравнения статики .Например, для нагруженного узла фермы на рис. 2.19, а,б можно записать:

Из второго уравнения получим , из третьего — найдем , а первое уравнение даст . Видно, что стержень растянут, а и — сжаты.

Метод вырезания узлов для пространственных конст­рукций позволяет вывести два правила определения нуле­вых стержней (рис. 2.19, в, г):

• если в ненагруженном узле сходятся три стержня, оси которых не лежат в одной плоскости, то все они нулевые;

• если все стержни, сходящиеся в узле, кроме одного, а также внешняя сила, приложенная к узлу, лежат в одной плоскости, то этот единственный стержень нулевой.

Применяя первое правило, можем установить, например, что в пространственной ферме на рис. 2.19, д, загруженной

крутящим моментом, пояса нулевые. Это связано с приня­тым расположением раскосов, образующих тетраэдр.

2. Кинематический анализ фермы. Как уже отмечалось, статически определимой является конструкция, все опор­ные реакции и внутренние усилия которой могут быть най­дены из условий равновесия. Чтобы полностью определить нагруженность фермы, необходимо найти sнеизвестных про­дольных усилий в стержнях и г опорных реакций (s— ко­личество стержней фермы). Используя метод вырезания уз­лов для определения неизвестных усилий в плоской ферме, можно составить 2wуравнений, где w— количество узлов. Следовательно, ферма статически определима, если коли­чество уравнений равно количеству неизвестных, т. е.

(2.11)

Соответственно, если i< 0, то фермастатическинеопределима, еслиже ,то ферма геометрическиизменяема.

Аналогичный критерий для пространственной фермы имеет вид

(2.12)

Этот метод кинематического анализа фермы значительно удобнее, чем расчет по формулам (2.2) или (2.3), но следует иметь в виду, что и этот способ кинематического анализа также не позволяет выявлять особенности, о которых гово­рилось в п. 2.1.2. Так, для схемы на рис. 2.20, а по формуле (2.11) получится , однако видно, что в этой

ферме левая панель статически неопределима, а центральная — геомет­рически изменяема (рис. 2.20, б). Для выявления таких ситуаций необходи­мо следить за тем, чтобы ферма, как это сказано в определении, состояла из треугольных панелей.

Метод сечений. Этот метод бази­руется на использовании условий равновесия для произвольной отсе­ченной части фермы. Для вычисления какого-либо усилия, например ский анализ фермы(рис.2.21),проводят сечение, проходящее через интересующий нас стержень, и указывают внутренние усилия во всех перерезанных стержнях, пола­гая, что все они растянуты. Сечение обязательно должно полностью разделить конструкцию на две части. Далее составляют уравнения равновесия в форме суммы проекций на какую-либо ось или суммы моментов относительно какой-либо точки всех сил, действующих на отсеченную часть. Уравнение можно составлять для любой отсеченной части, но желательно в такой форме, чтобы в него не входили силы, действующие в других перерезанных стержнях (S₂, S₃). В данном примере целесообразно составить сумму моментов всех сил, действующих с одной стороны сечения относительно точки . Рассмотрев правую часть, найдем

.

Следовательно,

ОпорнуюреакциюВ_y вычислим из условия равновесияфермы в целом как

Откуда получим Следовательно,

Усилие S₂можно вычислить из условия равенства нулю суммы проекций на вертикальную ось всех сил, действующих, например, на правую отсеченную часть:

Отсюда

Аналитический расчет пространственных ферм чрезвы­чайно трудоемок, поэтому в инженерной практике для это­го используется МКЭ.