Справочный материал к выполнению коннтрольной работы 8

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Кафедра высшей математики

и программного обеспечения ЭВМ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Часть 8

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ

для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета

по дисциплине «Математика»

Мурманск

Составитель: Казакова Галина Борисовна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой 2 апреля 2008 г., протокол № 6

Рецензент: Кацуба В.С., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 4

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

И ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ.. 14

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОННТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 8. 16

1. Теория вероятностей.. 16

1.1. Случайные события. 16

1.2. Вероятность события. 17

1.3. Вероятности сложных событий. 18

1.4. Формула Бернулли. 19

1.5. Случайные величины.. 19

1.6. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики. 20

1.7. Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики. 21

1.8. Нормальное распределение. 22

2. Математическая статистика.. 22

2.1. Генеральная и выборочная совокупности. 22

2.2. Вариационные ряды.. 23

2.3. Числовые характеристики. 24

2.4. Точечные оценки. 26

2.5. Интервальные оценки. 28

2.6. Проверка статистических гипотез. 30

2.7. Основные понятия корреляционного и регрессионного анализов. 33

2.8. Парная регрессия. 34

2.9. Выборочный коэффициент корреляции. 35

3. Случайные процессы.. 36

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 37

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 49

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольной работы по теме "Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы", варианты этой контрольной работы и список рекомендуемой литературы.

В результате изучения этой темы студенты должны:

· знать основные положения теории вероятностей; основные положения математической статистики; основы теории случайных процессов;

· уметь применять методы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов для решения практических задач.

Данные методические рекомендации включают краткий справочный материал для выполнения контрольной работы, который нужно рассматривать как дополнение к имеющимся учебникам по теории вероятностей и математической статистике. Так же в пособии содержится подробное решение примерного варианта контрольной работы со ссылками на используемый справочный материал.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Перед выполнением контрольной работы необходимо ознакомится сначала со справочным материалом, затем более глубоко изучить теоретический материал и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу.

Задача 1.

Вариант 1. При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи из-за выхода из строя одного из трех элементов, Вероятности выхода из строя элементов 0,3, 0,4 и 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что не будет разрыва сети?

Вариант 2. Радист 3 раза вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста хотя бы один раз.

Вариант 3. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольных работ по каждой из трех дисциплин равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения студентом контрольных работ по двум дисциплинам.

Вариант 4. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольных работ по каждой из трех дисциплин равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения студентом контрольных работ хотя бы по двум дисциплинам.

Вариант 5. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,85 и в третье – 0,7. Найти вероятность, того, что хотя бы одно отделение получит газеты вовремя.

Вариант 6. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность, того, что только два отделения получат газеты вовремя.

Вариант 7. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе отделение – 0,95 и в третье – 0,85. Найти вероятность, того, что только одно отделение получит газеты вовремя.

Вариант 8. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что только два орудия попадут в цель.

Вариант 9. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что только одно орудие попадет в цель.

Вариант 10. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы одно орудие попадет в цель.

Задача 2.

В каждом варианте для заданной случайной величины составить закон распределения, построить многоугольник распределения вероятностей, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Вариант 1. Вероятность отказа каждого прибора при проведении испытания равна 0,4, для испытания было отобрано 4 прибора, случайная величина – число приборов, отказавших при проведении испытаний.

Вариант 2. Вероятность совершить покупку для каждого покупателя магазина равна 0,3, в магазин пришли 4 покупателя, случайная величина – число покупателей, совершивших покупку.

Вариант 3. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515, случайная величина – число мальчиков в семье из 4 детей.

Вариант 4. Вероятность того, что корреспондент примет вызов радиста, равна 0,4, случайная величина – число вызовов, принятых корреспондентом, если радистом было передано 4 вызова.

Вариант 5. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб., случайная величина – размер выигрыша при четырех сделанных покупках, если вероятность выигрыша в каждой покупке равна 0,1.

Вариант 6. В контрольной работе 4 задачи, вероятность правильного решения учеником каждой задачи 0,7, случайная величина – число правильно решенных задач.

Вариант 7. Торговый агент имеет четырех потенциальных покупателей, вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4, случайная величина – число покупателей, сделавших заказ.

Вариант 8. Студент должен сдать в сессию 4 экзамена, вероятность успешной сдачи каждого экзамена 0,7, случайная величина – число экзаменов, которые сдал студент в сессию.

Вариант 9. Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны четыре телезрителя, случайная величина – число лиц, видевших рекламу.

Вариант 10. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75, контроль расхода электроэнергии производится в течение четырех суток, случайная величина – число дней, в которые расход электроэнергии был выше установленной нормы.

Задача 3

Вариант 1. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что коэффициент интеллекта у случайно отобранного для тестирования человека окажется меньше 95.

Вариант 2. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах. Вес заряда - нормально распределенная случайная величина c параметрами а = 2,3 г и =150 мг. Найти вероятность повреждения ружья при выстреле, если максимально допустимый вес заряда пороха равен 2,5 г.

Вариант 3. Размер детали подчинен нормальному закону с параметрами = 30 см и = 5 см. Детали считаются годными, если их размер находится в пределах от 20 до 40 см. Если размер детали больше 40 см, то она подлежит переделке. Найти вероятность того, что случайно отобранная деталь подлежит переделке.

Вариант 4. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Найти вероятность того, что коэффициент интеллекта у случайно отобранного для тестирования человека окажется в пределах от 80 до 120.

Вариант 5. Средняя длина взрослой рыбы оценивается в 65 см. со стандартным отклонением в 5 см. Считая распределение длины рыбы нормальным, найдите вероятность того, что длина конкретной рыбы будет больше 70 см.

Вариант 6. Спортсмен бросает копье. Дальность полета копья – нормально распределенная случайная величина со средним значением 70 м и средним квадратическим отклонением =5 м. Найти вероятность того, что дальность полета копья будет от 65 до 72 м.

Вариант 7. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 950 кг и средним квадратическим отклонением =150 кг. Определить вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет между 800 и 1300 кг.

Вариант 8. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции будет не выше 15,3 ден. ед.

Вариант 9. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции будет в интервале от 14,9 до 15,3 ден. ед.

Вариант 10. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 950 кг и средним квадратическим отклонением =150 кг. Найти вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг.

Задача 4.

Из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, сделана выборка. Найти: 1) числовые характеристики выборки – выборочную среднюю, выборочную дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение; 2) несмещенные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии; 3) доверительный интервал для оценки генеральной средней с заданной надежностью γ.

Вариант 1.

	54-58	58-62	62-66	66-70	70-74	74-78	78-82

.

Вариант 2

	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182

.

Вариант 3.

	0-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700

.

Вариант 4.

	33,2	38,2	43,2	48,2	53,2

.

Вариант 5.

	15,4	18,4	21,4	24,4	27,4

.

Вариант 6.

.

Вариант 7.

	4 - 9	9 - 14	14 - 19	19 - 24	24 - 29

.

Вариант 8.

	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4

.

Вариант 9.

	1,7– 2,8	2,8– 3,9	3,9-5,0	5,0-6,1	6,1-7,2	7,2-8,3

.

Вариант 10.

	3 - 7	7 - 11	11- 15	15 - 19	19 - 23

Задача 5.

Имеются две нормально распределенные генеральные совокупности и , из которых были сделаны выборки. По полученным выборкам на уровне значимости проверить гипотезу , считая дисперсии неизвестными, но равными.

Вариант 1.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 2.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 3.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 4.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 5.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 6.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 7.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 8.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 9.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Вариант 10.

Уровень значимости , альтернативная гипотеза

Задача 6.

Была исследована зависимость признака от признака . В результате проведения 10 измерений были получены результаты, представленные в таблице.

Требуется: 1) оценить тесноту и направление связи между признаками с помощью коэффициента корреляции и оценить значимость коэффициента корреляции на уровне значимости ; 2) найти уравнение линейной регрессии на ; 3) в одной системе координат построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

Вариант 1.

Уровень значимости .

Вариант 2.

	6,0	6,5	6,8	7,0	7,4	8,0	8,2	8,7	9,0	10,0

Уровень значимости .

Вариант 3.

	39,0	38,7	38,9	40,1	39,4	39,4	39,5	39,1	40,4	39,5

Уровень значимости .

Вариант 4.

Уровень значимости .

Вариант 5.

Уровень значимости .

Вариант 6.

	3,5	4,0	3,8	4,6	3,9	3,0	3,5	3,9	4,5	4,1
	4,2	3,9	3,8	4,5	4,2	3,4	3,8	3,9	4,6	3,0

Уровень значимости .

Вариант 7.

				2,5	3,5

Уровень значимости .

Вариант 8.

Уровень значимости .

Вариант 9.

	2,8	2,2	3,0	3,5	3,2	3,7	4,0	4,8	6,0	5,4
	6,7	6,9	7,2	7,3	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7

Уровень значимости .

Вариант 10.

	3,2	3,7	4,0	4,8	6,0	5,4	5,2	5,4	6,0	9,0
	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7	11,1	11,8	12,1	12,4

Уровень значимости .

Задача 7.

Задан процесс Пуассона с интенсивностью . Найти вероятность того, что за время событие произойдет: 1) ровно раз; 2) меньше, чем раз; 3) не больше, чем раз.

№ варианта		№ варианта

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

И ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ

№ темы	Содержание	Литература
	Случайные события и их вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула Бернулли	[1], гл. 1, § 1.1, 1.7–1.10; гл. 2, § 2.1; [2], гл. 1, § 1.2–1.4, 1.7, 1.9, 1.15, 1.16, 1.19, 1.20; [3], Ч. 1, гл. 1, § 1, 2, 3; гл. 2, § 1, 2, 3; гл. 3, § 1–5; гл. 5, § 1; [4], Ч. 1, гл. 2, § 1, № 50–57; [5], гл. V, § 1, № 806–815; § 2, № 822 –828, 834–836, § 3, № 839–842, 850–853
	Дискретные случайные величины, их числовые характеристики и законы распределения	[1], гл. 3, § 3.1, 3.3, 3.4, 3.8; [2], гл. 2, § 2.1, 2.2, 2.5; [3], Ч. 2, гл. 6, § 1, 2, 3; гл. 7, § 1, 2; гл. 8, § 2–4, 7; [4], Ч. 2, гл. 4, § 1, № 165, 166, 171, 173; § 3, № 188, 211, 219; [5], гл. V, § 5, 860–867, § 6, № 873, 874
	Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения	[1], гл. 3, § 3.6; гл. 4, § 4.7; [2], гл. 2, 2.4, 2.5, 2.7; [3], Ч. 2, гл. 12, § 1–3, 5; [4], Ч. 2, гл. 9, № 322, 328, 329, 332, 335; [5], гл. V, § 11, № 904–916
	Выборки и их числовые характеристики. Статистические оценки неизвестных параметров генеральной совокупности	[1], гл. 8, § 8.1, 8.2; гл. 9, § 9.1, 9.2, 9.4, 9.6, 9.7; [2], гл. 6, 6.1–6.5; гл. 7, § 7.1, 7.3, 7.4; [3], Ч. 3, гл. 15, § 1, 3, 6; гл. 16, §1, 3, 4, 8–10, 13–16; [4], Ч. 3, гл. 10, § 1, № 450, 454–457, 459, 461, 466; [5], гл. V, § 17, № 947, 948, 950, 951, 953
	Проверка статистических гипотез	[1], гл. 10, § 10.1–10.3; [2], гл. 7, § 7.5, 7.6; [3], Ч. 3. гл. 19, § 1, 3–6, § 10; [4], Ч. 3, гл. 13, § 1, § 4, № 568, 569; §5, № 570, 573;
	Элементы корреляционного и регрессионного анализа	[1], гл. 12, § 12.1–12.5; [3], Ч. 3, гл. 18, § 1–4, 7; гл. 19, §22; [4], Ч. 3, гл. 12, § 1; гл. 13, § 12, №611, 612; [5], гл. V, § 16, № 943–945
	Случайные процессы. Процесс Пуассона (простейший поток событий)	[1], гл. 7, § 7.1, 7.4; [2], гл. 1, § 1.21; [3], Ч. 2, гл. 6, § 6; [4], Ч. 2, гл. 4, § 2;

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Теория вероятностей

Случайные события

В основе теории вероятностей лежит следующая модель: имеется комплекс условий, который можно воспроизводить, хотя бы принципиально, неограниченное число раз. Каждое его воспроизведение называется опытом, испытанием или экспериментом. Предполагается, что в каждом опыте обязательно происходит одно и только одно так называемое элементарное событие (элементарный исход) . Все множество элементарных событий, которые могут происходить в результате опыта, называется пространством элементарных событий (исходов) W[1].

Случайное событие – это некоторое множество, состоящее из элементарных исходов . При этом исходы называются благоприятствующими событию . Случайные события, так же как и множества, обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита с индексами или без: , , , и т.д.

Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Достоверным называется событие, которое всегда происходит в результате рассматриваемого эксперимента. Следовательно, оно включает в себя все элементарные исходы, т.е. достоверным событием является пространство элементарных исходов .

Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти в результате рассматриваемого эксперимента. Значит, невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, т.е. это событие является пустым множеством и обозначается .

Суммой событий и называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий или , т.е. это событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат либо , либо , либо двум событиям одновременно.

Произведением событий и называется событие , состоящее в том, что оба события и произошли одновременно, т.е. это событие состоит из элементарных исходов, принадлежащих и , и .

Два события и называются несовместными, если и не могут произойти одновременно. Несовместные события не имеют ни одного общего благоприятствующего исхода, следовательно, .

Противоположным событию называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие . Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: их сумма является достоверным событием, т.е. , а произведение – невозможным событием, т.е. .

Вероятность события

Для количественной оценки возможности появления случайного события в рассматриваемом эксперименте вводится специальная числовая функция , называемая вероятностью события , которая каждому событию ставит в соответствие число.

Например, вероятность события можно найти, используя классическое определение вероятности: вероятность случайного события равна отношению числа элементарных равновозможных исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов эксперимента, т.е.

.

Заметим, что вероятность достоверного события , вероятность невозможного события . Кроме того, из определения вероятности следует, что для любого события выполняется неравенство:

.

Вероятности сложных событий

Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события и несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:

. (1)

Сформулированная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Если же события и совместны, то

. (2)

Из теоремы сложения вероятностей следует, что если и – противоположные события, то

или . (3)

Теорема умножения вероятностей. Если события и независимы (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

. (4)

Сформулированная теорема также справедлива для любого конечного числа сомножителей.

Формула Бернулли

Последовательность