Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл m₁. (так как степени вершин четны, то висячие вершины отсутствуют). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу m₁. Полученный псевдограф снова обозначаем как G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4. Если ребра есть, то выделяем из G’ цикл m_l+1 и переходим к шагу 3.

3) Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый Эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл, который является искомым.

Пример.

Найдем Эйлерову цепь в неориентированном графе G, изображенном на рис. 10.

Прежде, чем приступать к нахождению Эйлеровой цепи, необходимо проверить степени вершин графа G − согласно утверждению 2, для существования Эйлеровой цепи, необходимо и достаточно, чтобы в графе G ровно 2 вершины нечетной степени.

Рис. 10.

В рассматриваемом графе нечетные степени имеют вершины v₃ и v₁ (степень этих вершин равна 3). Соединяя эти вершины фиктивным ребром так, как показано на рис. 11, получаем граф G’:

Рис. 11.

Поскольку в конечном итоге будет получена цепь, то очевидно, что началом и концом этой цепи будут вершины с нечетными степенями. Поэтому, следуя описанному выше алгоритму, будем циклы m_i так, чтобы хотя бы один из них начинался или кончался на вершинах v₃ или v₁.

Пусть цикл m₁ составят ребра, проходящие через следующие вершины: v₃ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃. Согласно алгоритму, удаляем из G’ все ребра, задействованные в цикле m₁. Теперь граф G’ будет таким, как показано на рис. 12.

Составляем следующий цикл m₂: v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄. Граф G’ после удаления ребер, составляющих цикл m₂, изображен на рис. 13.

Рис.12	Рис. 13

Очевидно, что последний цикл m₃ будет состоять из v₃ v₅ v₁|v₃, где последнее ребро, соединяющее вершины v₁ и v₃ – фиктивно. После удаления ребер, составляющих цикл m₃, в графе G’ не останется ни одного ребра.

Теперь по общим вершинам склеиваем полученные циклы. Поскольку m₁ и m₂ имеют общую вершину v₄, то, объединяя их, получим следующий цикл: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃. Теперь склеим получившийся цикл с циклом m₃: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃ v₅ v₁|v₃. Удаляя фиктивное ребро, получаем искомую Эйлерову цепь: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃ v₅ v₁.

Задание 5. Минимальное остовное дерево

Найти минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном нагруженном графе G

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G₂ графа G. Положим i:=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и G_i – искомое минимальное остовное дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф G_i+1. Для этого добавим к графу G_i новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-либо вершине графа G_i и одновременно вершине, не содержащейся в G_i. Вместе с этим ребром включаем в G_i+1 и эту инцидентную ему вершину. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Пример.

Найдем минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе, изображенном на рис.14.

Рис.14.

Обозначим ребро, соединяющее вершины v_i и v_j через x_ij.

Для удобства использования приведенного выше алгоритма решения поставленной задачи, составим матрицу длин ребер. В рассматриваемом графе количество вершин n=8, следовательно, матрица длин ребер графа G будет иметь размерность 8×8 и выглядеть следующим образом:

Согласно приведенному выше алгоритму, выбираем ребро минимальной длины (выбираем среди элементов матрицы C(G) минимальное − это c₄₇=1) и вместе с инцидентными ему двумя вершинами относим к графу G₂. Таким образом, . Длина дерева G₂ будет равна l(G₂)=c₄₇=1. Поскольку , продолжаем работу алгоритма. По четвертой и седьмой строкам ищем минимальное число (за исключением использованной единицы) − ребро минимальной длины, инцидентное либо вершине v₄, либо v₇. Выбираем ребро x₄₆ с длиной c₄₆=3 и вместе с вершиной v₆ добавляем к графу G₂, обозначая его теперь как G₃: , при этом l(G₃)=c₄₇+c₄₆=1+3=4. Аналогично находим графы:

, ;

, ;

,

;

,

;

,

.

Поскольку i=8=n(G), работа алгоритма заканчивается.

Таким образом, искомое минимальное остовное дерево графа G − граф G₈, изображенный на рис. 15, длина которого равна 22.

Рис.15.