Основные показатели качества процессов поиска экстремума

На прошлых лекциях мы познакомились с основными принципами построения ЭС и определили типы этих систем. Следующий важный вопрос, требующий рассмотрения, это анализ свойств и расчет экстремальных систем. Как любые динамические системы управления, экстремальные системы можно оценивать по их помехоустойчивости, качеству и быстродействию. Особенность лишь в том, что эти показатели относятся к процессам поиска экстремальная система характеризуется рядом качественных показателей:

а) потерями на поиск,

б) зоной поиска на входе и выходе,

в) временем выхода в экстремум.

Потерями на поиск называют среднее за период поиска значение отклонения экстремального параметра от экстремума.

Период поиска – время одного цикла колебаний, равное .

Зона поиска на входе равна ширине интервала, в котором меняется входной сигнал в режиме установившегося «рыскания». Может быть связана с по формуле .

Зона поиска на выходе определяет амплитуду колебаний экстремального параметра в режиме установившегося «рыскания». Без учета динамики объекта это .

Для расчета ЭС применяют как точные, так и приближенные методы. Наиболее часто применяют методы временных диаграмм, фазовой плоскости (графические методы) и метод гармонической линеаризации. Сложность расчета зависит от порядка модели, от вида экстремальной характеристики.

Рассмотрим одномерную систему с запоминанием экстремума, начав с частного случая, когда объект управления является безинерционным. На рис. 3.1 представлена упрощенная схема этой системы.

Примем, что исполнительный механизм может перемещаться с постоянной скоростью . Статическая экстремальная характеристика описывается уравнением .

Пусть начальная рабочая точка имеет координаты , зона нечуствительности реле - . Нужно обеспечить период колебаний экстремальной переменной равный и определить в этих условиях потери на поиск , время выхода в экстремальную область и скорость исполнительного механизма .

Рис.3.1. ЭС с запоминанием экстремума и безинерционным объектом

Выход системы на режим установившегося «рыскания» и расчет основных показателей качества процессов поиска экстремума может быть иллюстрирован с помощью рис. 3.2.

Рис. 3.2. Выход ЭС с запоминанием экстремума на режим установившегося «рыскания»

Рассчитаем требуемую скорость изменения входной координаты . Зона поиска на выходе (амплитуда колебаний) будет равна зоне нечувствительности реле . За время координата должна измениться от 0 до при постоянной скорости . Отсюда найдем из следующих соотношений

Таким образом, скорость обратна желаемому периоду колебаний , прямо связана с и обратна .

Определим время выхода в экстремальную область. Начнем движение из точки . Тогда

.

Из имеем ,

.

Найдем потери на поиск в системе с запоминанием экстремума. На рис. 3.3 приведено графическое обоснование расчета потерь на поиск .

Рис.3.3.

Из рисунка очевидна формула для расчета потерь на поиск .

Для системы с запоминанием экстремума имеем

,

А учитывая, что , получаем .

Результат можно получить проще, если интегрировать по . Тогда

.

Таким образом, потери на поиск не зависят от , а зависят только от .

В данном простейшем случае все можно решить аналитически.