Сведение RMQ к LCA и наоборот.

LCA (least common ancestor)

Задача LCA (наименьший общий предок) для двух вершин и в корневом дереве называется узел , который среди всех узлов, являющихся предками как узла , так и , имеет наибольшую глубину. Пусть дано корневое дерево . На вход подаются запросы вида , для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.
Четыре основных алгоритма:

0. Самый простой, наивный алгоритм для нахождения наименьшего общего предка — вычислить глубину вершин u и v и постепенно подниматься из каждой вершины вверх по дереву, пока не будет найдена общая вершина:

Процедура LCA(u, v):

h1 := depth(u) // depth(x) = глубина вершины x

h2 := depth(v)

while h1 ≠ h2:

if h1 > h2:

u := parent(u)

h1 := h1 - 1

else:

v := parent(v)

h2 := h2 - 1

whileu ≠ v:

u := parent(u) // parent(x) = непосредственный предок вершины x

v := parent(v)

returnu

Время работы этого алгоритма составляет O(h), где h — высота дерева. Кроме того, может понадобиться препроцессинг, требующий O(n) времени, для нахождения непосредственного предка для всех вершин дерева и глубины вершин (но, как правило, эта структура на дереве уже имеется) – делается обходом графа.

1. Алгоритм за O(sqrt(H)).
шаг первый: BFS– узнаем глубину дерева и глубину каждой из вершин

Шаг второй: DFS – Делим на уровни длиной sqrt(H) (их всего будет sqrt(H)). Для каждой вершины считаем d[v] = первый предок из предыдущего уровня.

Как считать? Если глубина вершины кратна sqrt(H), значит они или первая, или последняя в уровне – обрабатываем отдельно. Иначе d[v] = d[u], где u – прямой предок v.
Итого предпроцессинг за O(H).
Запрос:

Если вершины на разных уровнях – прыгаем из вершины с меньшим уровнем, пока уровень не будет одинаковым (максимум – O(sqrtH)). Когда достигли одного уровня, то P[v] = P[u], то LCAu,vнаходится между ними и вершиной P[u] = P[v]. Просто поднимаемся вверх (по прямым родителям), пока не окажемся в одной вершине. Если P[u] != P[v] – максимум за O(sqrt(H)).

Итого алгоритм работает за <O(N), O(sqrtH)>

2. Метод двоичного подъема
Данный алгоритм является on-line (то есть сначала делается препроцессинг, затем алгоритм работает в формате запрос-ответ).

Препроцессинг

Препроцессинг заключается в том, чтобы посчитать функцию: — номер вершины, в которую мы придем если пройдем из вершины вверх по подвешенному дереву шагов, причем если мы пришли в корень, то мы там и останемся. Для этого сначала обойдем дерево в глубину и для каждой вершины запишем номер ее родителя и глубину вершины в подвешенном дереве . Если — корень, то . Тогда для функции есть рекуррентная формула:

Ведь 2^i-1+2^i-1=2ⁱ
Для того чтобы отвечать на запросы нам нужны будут только те значения , где , ведь при больших значение будет номером корня.
Всего состояний динамики , где — это количество вершин в дереве. Каждое состояние считается за . Поэтому суммарная сложность времени и памяти препроцессинга — .

Ответы на запросы

Ответы на запросы будут происходить за время . Для ответа на запрос заметим сначала, что если , для некоторых и , то . Поэтому если , то пройдем от вершины на шагов вверх, это и будет новое значение и это можно сделать за . Можно записать число в двоичной системе, это представление этого число в виде суммы степеней двоек, и для всех пройти вверх последовательно из вершины в .

Дальше считаем, что .

Если , то ответ на запрос .

А если , то найдем такие вершины и , такие что , — предок , — предок и . Тогда ответом на запрос будет .
Научимся находить эти вершины и . Для этого сначала инициализируем и . Дальше на каждом шаге находим такое максимальное , что . И проходим из вершин и на шагов вверх. Если такого найти нельзя, то значения и , это те самые вершины, которые нам требуется найти, ведь .
Оценим время работы. Заметим, что найденные строго убывают. Во-первых, потому что мы находим на каждом шаге максимальное значение , а во-вторых, два раза подряд мы одно и то же получить не можем, так как тогда получилось бы, что можно пройти шагов, а значит вместо первого , мы бы нашли . А значит всего значений , их можно перебирать в порядке убывания. Сложностьответаназапрос .
Псевдокод
preprocess()
p := dfs(0)
for i := 1 .. n
dp[i][0] := p[i]
for j := 1 .. log(n)
for i := 1 .. n
dp[i][j] := dp[dp[i][j - 1]][j - 1]

lca(v, u)
if (d[v] > d[u])
swap(v, u)
for i := log(n) .. 0
if (d[u] - d[v] >= )
u := dp[u][i]
if (v = u)
return v
for i := log(n) .. 0
if (dp[v][i] <> dp[u][i])
v := dp[v][i]
u := dp[u][i]
return p[v]

3. Алгоритм с предпроцессингом (Сведение LCA к RMQ)
Для каждой вершины определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы:
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
Запустим обход в глубину из корня, который будет вычислять значения следующих величин:

1. Cписок глубин посещенных вершин . Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

2. Список посещений узлов , строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.

3. Значение функции , возвращающей любой индекс в списке глубин , по которому была записана глубина вершины (например на момент входа в вершину).

Запрос

Будем считать, что возвращает индекс минимального элемента в на отрезке . Тогда ответом на запрос , где , будет .

RMQ через LCA

Дан массив . Поступают запросы вида , на каждый запрос требуется найти минимум в массиве , начиная с позиции и заканчивая позицией .

Алгоритм

Декартово дерево (англ. сartesian tree) по неявному ключу на массиве — это бинарное дерево, допускающее следующее рекурсивное построение:

§ Корнем дерева является элемент массива, имеющий минимальное значение , скажем . Если минимальных элементов несколько, можно взять любой.

§ Левым поддеревом является декартово дерево на массиве .

§ Правым поддеревом является декартово дерево на массиве .

Здесь и далее будет также использоваться для обозначения соответствующей вершины дерева.

Построим декартово дерево на массиве . Тогда = .

Доказательство

Теорема:

= .

Доказательство:

Положим . Заметим, что и не принадлежат одновременно либо правому, либо левому поддереву , потому как тогда бы соответствующий сын находился на большей глубине, чем , и также являлся предком как так и , что противоречит определению . Из этого замечанию следует, что лежит между и и, следовательно, принадлежит отрезку . По построению мы также знаем, что: 1. Любая вершина дерева имеет свое значение меньшим либо равным значению её детей. 2. Поддерево с корнем в содержит в себе подмассив . Суммируя, получаем, что имеет минимальное значение на отрезке, покрывающем , и принадлежит отрезку , отсюда .

Сложность

Следующий алгоритм строит декартово дерево за . Используя Сведение задачи LCA к задаче RMQ, получаем: препроцессинг для — и ответ на запрос — . В итоге получили с построением за и ответом на запрос за .

Процесс построения дучи по массиву:

Stack.push(A[0])

For (i = 1; i < n; i++)

If(A[i] >= A[stack.top])

s.top()->right = i;

s.push(i);

else

while(A[i] < A[s.top])

cur = s.top();

s.pop();

i->left = cur;

s.top()->right = I;

s.push(i);

Restricted RMQ

Алгоритм Фарака-Колтона, Бендера (алгоритм Фарах-Колтона, Бендера) — применяется для решения за времени специального случая задачи RMQ (поиск минимума на отрезке), в котором соседние элементы входной последовательности различаются на ±1. Может быть использован также для решения задачи LCA.

Вход: последовательность длины , соседние элементы которой отличаются на ±1.
Выход: ответы на онлайн запросы вида «позиция минимума на отрезке ».

Алгоритм

Части, из которых состоит ответ на запрос RMQ

Данный алгоритм основывается на методе решения задачи RMQ с помощью разреженной таблицы (sparse table, ST) за .

Чтобы избавиться от логарифма используется предподсчёт ответа для небольших подстрок входной последовательности. Разделим последовательность на блоки длины . Для каждого блока вычислим минимум на нём и определим как позицию минимального элемента в -том блоке.

На новой последовательности построим разреженную таблицу. Теперь для ответа на запрос RMQ , если и находятся в разных блоках, нам необходимо вычислить следующее:

1. минимум на отрезке от до конца содержащего блока;

2. минимум по всем блокам, находящимся между блоками, содержащими и ;

3. минимум от начала блока, содержащего , до .

Ответом на запрос будет позиция меньшего из эти трёх элементов.

Второй элемент мы уже умеем находить за с помощью и ST. Осталось научиться находить минимум по отрезку, границы которого не совпадают с границами блоков.

Минимум внутри блока

Утверждение:

Если две последовательности и таковы, что все их элементы на соответствующих позициях различаются на одну и ту же константу (т.е. ), то любой запрос RMQ даст один и тот же ответ для обеих последовательностей.

Таким образом, мы можем нормализовать блок, вычтя из всех его элементов первый. Тем самым мы значительно уменьшим число возможных типов блоков.

Утверждение:

Существует различных типов нормализованных блоков.

Соседние элементы в блоках отличаются на ±1. Первый элемент в нормализованном блоке всегда равен нулю. Таким образом, каждый нормализованный блок может быть представлен ±1-вектором длины . Таких векторов .

Осталось создать таблиц — по одной для каждого типа блока. В такую таблицу необходимо занести предподсчитанные ответы на все возможные запросы минимума внутри блока соответствующего типа, коих . Для каждого блока в необходимо заранее вычислить его тип. Таким образом мы получили возможность отвечать на запрос минимума по любой части блока за , затратив на предподсчёт времени.

Результат

Итого, на предподсчёт требуется времени и памяти, а ответ на запрос вычисляется за .