Теорема об изменении количества движения материальной точки

Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F, имея в данный момент скорость V(рисунок 2.1, а).

а б

Рисунок 2.1

Построим вектор количества движения q = m×v.

По второму закону динамики для свободной материальной точки имеем

m×a = F (2.1)

Так как масса материальной точки m – величина постоянная, а ускорение

a = dV/dt, (2.2)

то равенство (2.1) можно представить в виде

d(m×V)/dt = F (2.3)

Выражение (2.3) является формой основного закона динамики (2.1). Первоначально он был записан Ньютоном именно в подобной форме. Формула (2.3) представляет собой содержание теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку.

Проецируя векторное равенство (2.3) на декартовы оси координат, получаем равенства, определяющие содержание теоремы в скалярном виде:

d(m∙V_x)/dt = X;
d(m∙V_y)/dt = Y;
d(m∙V_z)/dt = Z, (2.4)

т.е. производная по времени от проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось равна проекции на эту же ось действующей на точку силы.

Умножив обе части равенства (2.3) на элементарный промежуток времени dt, получим выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в другой дифференциальной форме:

где S - импульс силы,
т.е. дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на эту точку.

Пусть движущаяся материальная точка в начальный момент t=0 находилась в положении M₀ и имела скорость V₀, а в момент t приходит в положение M и имеет скорость V (рисунок 2.1, б). Тогда, проинтегрировав равенство (2.5) в пределах соответствующего перемещения точки (из положения M₀в положение M), получим

или

Полученное равенство (2.6) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении): изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей на эту точку силы за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения выражает, таким образом, тесную связь, которая имеет место между импульсом силы как меры ее действия во времени и количеством движения как меры механического движения.

Проецируя равенство (2.6) на декартовые оси координат:

получаем выражения (2.7) для теоремы об изменении проекции количества движения в конечной форме (в скалярном выражении): изменение проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса действующей на точку силы за тот же промежуток времени.

Уравнения в проекциях (2.7) чаще всего применяются при решении задач динамики точки на изменение количества движения.

Рассмотрим следствия теоремы:

1. если F=0, то m×V=C=const, или m×V=m×V₀ - имеем закон сохранения количества движения.
2. если X=0 (F≠0), то m∙V_x = C, или m∙V_x = m∙V_0x - имеем закон сохранения проекции количества движения на ось.

То есть если на материальную точку не действует какая-либо сила (проекция действующей силы на какую-либо ось равна нулю), то вектор количества движения точки (проекция количества движения точки на эту же ось) со временем не изменяется.