Задачи о максимальной боковой дальности на атмосферном участке спуска аэрокосмического аппарата

5.1.1. Условия решения задач.Вид уравнений движения центра масс аэрокосмического аппарата определяется выбранной системой координат и учитываемым составом действующих сил. В рассматриваемой математической модели аэрокосмический аппарат движется над поверхностью, имеющей форму эллипсоида вращения с экваториальным радиусом =6378,160 км и полярным радиусом =6356,863 км (эллипсоид Красовского). Эта поверхность близка к геоиду - действительной фигуре Земли. Движение аппарата относительно Земли происходит под действием силы тяготения, полной аэродинамической силы, силы тяги двигательной установки и сил, обусловленных неинерциальностью системы отсчёта. Система дифференциальных уравнений движения в траекторной системе координат с учетом вращения Земли, нецентральности поля тяготения и при отсутствии ветра в атмосфере, дополненная уравнением изменения массы ЛА, имеет вид:

,

,

, (1.16)

,

,

,

.

Здесь – земная скорость аппарата (при отсутствии ветра совпадает с воздушной), – угол наклона траектории, – угол пути, – величина радиус-вектора центра масс аэрокосмического аппарата, – географическая широта, – географическая долгота, – масса аппарата, – плотность атмосферы, 0,727*10^-4с^-1 – угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси.

Радиальная и трансверсальная составляющие вектора гравитационного ускорения , лежащего в меридиональной плоскости, с точностью до полиномов Лежандра второго порядка определяются по формулам [52, 150]:

, (5.1)

,

где =398600,4 км³/с² – гравитационная постоянная Земли.

Проекции вектора силы тяги ДУ, жёстко закреплённой и ориентированной вдоль продольной оси аэрокосмического аппарата, вычисляются по формулам:

,

, (5.2)

,

где – сила тяги ДУ, - удельная тяга.

Коэффициенты и определяются выражениями:

, , (5.3)

где , - коэффициенты аэродинамической силы лобового сопротивления и аэродинамической подъёмной силы, - характерная площадь.

Число Маха рассчитывается как отношение воздушной скорости ЛА, которая при отсутствии ветра совпадает со скоростью относительно Земли, и скорости звука на данной высоте:

, (5.4)

где скорость звука связана с температурой воздуха Т соотношением:

20,0463 . (5.5)

Высота над поверхностью Земли, имеющей форму эллипсоида вращения с указанными выше параметрами, вычисляется по формуле:

. (5.6)

Составляющие вектора перегрузки в проекции на связанную продольную и нормальную оси ЛА определяются по соотношениям:

, (5.7)

,

где 9,81 м/с² – гравитационное ускорение на поверхности Земли.

Удельный тепловой поток в критической точке поверхности аппарата с радиусом кривизны рассчитывается по формуле:

. (5.8)

Скоростной напор и аэродинамическое качество аппарата определяются по соотношениям:

, . (5.9)

Аэрокосмический аппарат находится на орбите спутника Земли, плоскость которой совпадает с плоскостью экватора. В некоторый момент времени аппарат под действием тормозного импульса тяги сходит с орбиты и с известным значением вектора скорости подходит к условной границе атмосферы. В качестве начальных условий движения в момент времени входа аэрокосмического аппарата в атмосферу на высоте =95 км приняты следующие величины: земная скорость =7500 м/с, угол наклона траектории = -4⁰, угол пути =0, широта =0 и долгота =0.

Максимальное аэродинамическое качество аэрокосмического аппарата на гиперзвуковых скоростях движения в атмосфере составляло примерно 1,2, радиус кривизны поверхности в критической точке аппарата принят равным 1 метру.

Требуется найти программы изменения угла атаки и скоростного угла крена , обеспечивающие при снижении аэрокосмического аппарата в атмосфере достижение в конечный нефиксированный момент времени спуска на конечной высоте =10 км максимальной конечной широты без ограничений и при наличии ограничений на управление и режимы движения. В рассматриваемой постановке задачи максимальная конечная широта соответствует максимальной угловой боковой дальности спуска в атмосфере.

Отметим, что результаты численного решения задач оптимального управления с использованием методов математического моделирования являются в той или иной степени приближёнными. В дальнейшем приближённо-оптимальные зависимости именуются оптимальными.

Оптимальное управление сформировано при следующих условиях. Узлы аппроксимации задачи располагались равномерно по характеристической скорости (2.16) в первых трёх задачах с шагом 300 м/с, при этом их число не превышало 50, и с шагом 150 м/с в последующих при числе узлов до 100. Использовалась кусочно-линейная аппроксимация программ изменения углов атаки и крена, зависимостей фазовых координат и функциональных производных от времени. Размеры области допустимых значений приращений управления уменьшались по мере приближения к оптимальной программе управления и составляли по углу атаки от 1⁰ на первых итерациях до 0,05⁰ на последних, по углу крена – от 1⁰ до 0,1⁰. Набор узлов обновлялся на каждой итерации улучшения управления, среднее число выполненных итераций улучшения управления равнялось 100, максимальное число итераций в задачах с многочисленными ограничениями не превышало 250.

Решение задач заканчивалось при стабилизации оптимизируемого функционала (конечной широты) относительно некоторого значения. В отдельных случаях с целью подтверждения практической неулучшаемости полученного управления решение задачи повторялось с другим начальным приближением опорного управления.

5.1.2. Три известные задачи.Задача 1. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска при отсутствии ограничений на управление и режимы движения, т.е. найти

.

Конечная боковая дальность спуска или соответствующая ей в рассматриваемой постановке конечная широта является дифференцируемым по Фреше функционалом вида (2.4).

Основные результаты решения этой задачи с помощью численного метода и алгоритма на основе последовательной линеаризации приведены на рис. 5.1 и 5.2.

На рис. 5.1 показаны начальные приближения программ изменения углов атаки и крена и полученное оптимальное управление , а также расположение узлов аппроксимации на последней итерации и изменение высоты и скорости от времени при реализации оптимального управления.

На рис. 5.2 для оптимальной траектории показано изменение широты , долготы и угла пути по времени.

Из сравнения результатов решения задачи, полученных двумя методами, следует, что полученное управление (рис.5.1) близко к оптимальному, полученному принципом максимума. Совпадает также характер изменения параметров обеих траекторий.

Следует отметить заметное отличие полученного оптимального управления от его начального приближения , что свидетельствует о нечувствительности алгоритма на основе последовательной линеаризации к начальному приближению искомых управляющих зависимостей.

Задача 2. Найти программу управления углом крена аэрокосмического аппарата, максимизирующую боковую дальность спуска при различных допустимых значениях максимального удельного теплового потока в критической точке аппарата, т.е. найти

при условии

.

При решении этой задачи программа изменения угла атаки соответствовала оптимальной программе, полученной при решении предыдущей задачи, и в процессе решения не изменялась. Максимальный удельный тепловой поток относится к функционалам, не имеющим производных Фреше. Поэтому на каждой итерации улучшения программы управления фиксировались время достижения и величина .

	Рис. 5.3. Влияние ограничения по удельному тепловому потоку на программу угла крена: 1 – без ограничений; 2, 3, 4 – ограничения , ,

Решение проводилось в следующей последовательности. Сначала была получена программа управления, максимизирующая боковую дальность спуска без ограничения на максимальное значение удельного теплового потока (допустимое значение функционала-ограничения задавалось заведомо больше возможного). Затем были получены три оптимальные программы управления, обеспечивающие максимальную боковую дальность при различных допустимых значениях максимального теплового потока: = 2400 кДж/(м²с), = 2000 кДж/(м²с), = 1600 кДж/(м²с).

На рис. 5.3 показано влияние ограничения по максимальному удельному тепловому потоку на оптимальный закон изменения угла крена.

Задача 3. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска при различных допустимых значениях максимального теплового потока в критической точке аппарата, т.е. найти

при условии

.

Замена функционала-ограничения осуществлялась аналогично соответствующей замене в предыдущей задаче, такими же были последовательность решения и допустимые значения максимального удельного теплового потока в критической точке аэрокосмического аппарата. При решении использовалось дополнительное условие постоянства радиуса кривизны критической точки аппарата при изменении угла атаки.

В результате решения получены зависимости углов атаки и крена от скорости (рис. 5.4), повторяющие характер оптимальных зависимостей, полученных с помощью принципа максимума.

Увеличение допустимого значения максимального удельного теплового потока приводит к увеличению максимальной боковой дальности спуска до наибольшего значения, соответствующего траектории движения без ограничений (рис. 5.5).

На рис. 5.6 показано расположение узлов аппроксимации на последней итерации решения задачи с ограничением = 2000 кДж/(м²с), а также полученные оптимальные программы изменения углов атаки и крена и соответствующее им изменение высоты, скорости и удельного теплового потока в критической точке аэрокосмического аппарата от времени.

На рис. 5.7 изображены зависимости от времени широты , долготы и угла пути при реализации оптимального двухканального управления.

Рис. 5.8 иллюстрирует процесс формирования оптимального управления. На нём показаны осреднённые зависимости оптимизируемого функционала задачи - конечной широты и функционала-ограничения - максимального удельного теплового потока по итерациям улучшения программ управления.

Кроме того, на рис. 5.8 отмечено допустимое значение функционала . Осреднение приведённых зависимостей заключается в изображении на рисунке только общей тенденции изменения функционалов. В действительности истинные значения функционалов располагаются с обеих сторон в непосредственной близости от изображённых кривых. Аналогичным образом в дальнейшем показаны зависимости функционалов от номера итерации улучшения управления, иллюстрирующие процессы формирования управления.

На рис. 5.8 выделен прямоугольник, который увеличен и представлен в виде рис. 5.9, иллюстрирующего действительное поведение функционалов в процессе поиска оптимального управления. Значениям функционалов соответствуют точки, относящиеся к каждой итерации, соединение точек отрезками прямых является условностью и служит только целям улучшения наглядности рисунка.

Анализ рис. 5.9 показывает, что изменения оптимизируемого функционала и функционала-ограничения в процессе работы алгоритма формирования оптимального управления взаимосвязаны и цикличны: уменьшение оптимизируемого функционала на итерации улучшения управления приводит к отступлению функционала-ограничения от его допустимого значения, последующее приближение функционала ограничения к допустимому значению на следующей итерации ведет к росту оптимизируемого функционала, превышающему его уменьшение на предыдущей итерации.

5.1.3. Задачи с многочисленными ограничениями.Рассмотрим результаты решения задач построения номинального управления спуском аэрокосмического аппарата в атмосфере, максимизирующего боковую дальность спуска при наличии ограничений на управление, высоту полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы и режимы движения: удельный тепловой поток в критической точке аппарата, скоростной напор и нормальную составляющую перегрузки.

Учёт ограничения на высоту полёта после первого отражения от плотных слоёв атмосферы позволяет формировать достаточно гладкие номинальные траектории спуска в атмосфере. Наилучшим образом такие траектории можно получить, учитывая одновременно два ограничения - на высоту после первого отражения от плотных слоёв атмосферы и удельный тепловой поток. Это связано с тем, что первое условие ограничивает высоту полёта сверху, а второе кроме собственно ограничения на максимальное значение удельного теплового потока одновременно ограничивает и высоту полёта снизу.

В качестве ограничения на перегрузку было выбрано ограничение на нормальную составляющую вектора перегрузки. Это связано со следующими особенностями аэрокосмических аппаратов и траекторий их движения в атмосфере.

Во-первых, движение в атмосфере у аппаратов этого типа при совершении любых расчётных манёвров происходит без сколько-нибудь значительного скольжения вследствие больших аэродинамических и тепловых нагрузок, небольшое скольжение допускается только для создания несимметричности обтекания при управлении по крену. Это означает, что поперечные перегрузки в процессе движения в атмосфере невелики.

Во-вторых, движение аэрокосмических аппаратов в атмосфере происходит на больших, по сравнению с самолётами, углах атаки (до 40⁰ в начале траектории спуска). Это приводит к тому, что при проектировании на связанные оси вектор перегрузки даёт достаточно большую составляющую на нормальную ось, а допустимое значение нормальной перегрузки существенно меньше допустимого значения продольной.

Задача. Найти программу управления углом крена аэрокосмического аппарата, максимизирующую боковую дальность спуска с учетом ограничения на высоту полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы, т.е. найти

при условии

.

Задача решалась при следующих условиях. Допустимое значение высоты полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы принималось равным 40 км. В качестве начального приближения программ изменения углов крена и атаки использовались оптимальные зависимости, показанные на рис. 5.1, причём, программа изменения угла атаки в процессе решения не изменялась. Из рисунка следует, что при движении с этими программами управления требуемое по условию задачи ограничение на высоту полёта не выполняется.

Функционал-ограничение, соответствующий максимальной высоте полёта после первого отражения, относится к функционалам, не имеющим производных Фреше и заменялся одним функционалом Гато.

Основные результаты решения задачи иллюстрирует рис. 5.10, на котором показаны полученная оптимальная программа управления скоростным углом крена, программа управления углом атаки, изменения высоты, широты и угла пути, а также допустимое значение высоты полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы. На этом и последующих аналогичных рисунках вследствие большого количества узлов аппроксимации их расположение не показано, а кусочно-линейные программы управления из-за близости расположения узлов аппроксимации изображены гладкими, без характерных изломов в узлах.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска с учётом ограничения на высоту полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы, т.е. найти

при условии

.

Эта задача рассматривалась как продолжение предыдущей, результаты решения которой использовались в качестве начального приближения.

Результаты решения приведены на рис. 5.11, описание которого соответствует описанию рис. 5.10 и на котором дополнительно показана зависимость удельного теплового потока в критической точке аппарата от времени.

Из сравнения результатов решения задач следует, что учёт ограничения на высоту полёта после первого отражения приводит к уменьшению максимальной угловой боковой дальности спуска в атмосфере. Поиск оптимального управления только по углу крена при рассматриваемом значении ограничения на высоту полёта приводит к уменьшению конечной боковой дальности примерно с 22,5⁰ до 10⁰ . При совместном поиске оптимальных программ управления углами крена и атаки максимальная угловая дальность спуска увеличивается по сравнению с одноканальным управлением до 11⁰.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска с учётом ограничения на высоту полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы и ограничения на удельный тепловой поток в критической точке аппарата, т.е. найти

при условиях

,

.

Как и в двух предыдущих задачах допустимое значение высоты полёта после первого отражения аппарата от плотных слоев атмосферы принималось равным 40 км. Допустимое значение удельного теплового потока в критической точке аппарата фиксировалось на уровне 2400 кДж/(м²с).

Решение этой задачи основывалось на результатах решения предыдущей задачи. В качестве начального приближения программ управления были приняты оптимальные программы, полученные в результате ее решения и изображённые на рис. 5.11, из которого, в частности, следует, что приведённые программы управления не обеспечивают поставленного в данной задаче ограничения на мак

симальное значение удельного теплового потока.

Как и ранее каждый из функционалов, дифференцируемых по Гато, заменялся одним функционалом, дифференцируемым по Фреше.

Рис. 5.12 иллюстрирует процесс формирования оптимального управления. На нём показано изменение оптимизируемого функционала задачи - конечной широты и функционалов-ограничений - максимальной высоты полёта после первого отражения от плотных слоёв атмосферы и максимального удельного теплового потока в критической точке аппарата по итерациям улучшения программ управления. Кроме того, на рисунке отмечено допустимое значение функционалов-ограничений и .

Как и на рис. 5.8, на рис. 5.12 показаны осреднённые зависимости, отражающие общие тенденции изменения функционалов, в то время как истинные значения функционалов располагаются с обеих сторон в непосредственной близости от изображённых кривых.

На рис. 5.13 показаны результаты решения задачи - оптимальные программы изменения углов атаки и крена, а также зависимости от времени высоты, широты, угла пути и удельного теплового потока, отмечены допустимые значения высоты полёта после первого отражения от плотных слоев атмосферы и удельного теплового потока в критической точке аппарата. Видно, что полученные оптимальные программы управления обеспечивают выполнение заданных ограничений на высоту полёта и удельный тепловой поток. Одновременное выполнение поставленных в задаче ограничений позволило сформировать траекторию спуска без значительных отражений от плотных слоёв атмосферы.

Задача. Найти программы изменения угла атаки и угла крена аэрокосмического аппарата, обеспечивающие при снижении в атмосфере достижение максимальной боковой дальности спуска при наличии ограничений на управление и на значения перегрузки, скоростного напора, удельного теплового потока и высоты полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы, т.е. найти

при условиях

, ,

, .

На значения управляющих зависимостей и параметров траектории были наложены ограничения. Угол атаки мог принимать значения от = 10⁰ до = 40⁰, скорость его изменения ограничивалась сверху значением = 1 гр/с. Угол крена по абсолютной величине ограничивался значением = 70⁰, а скорость его изменения - =10 гр/с.

Допустимое значение нормальной перегрузки принималось равным 4,0, скоростного напора - равным 20 кН/м², удельного теплового потока - равным 2400 кДж/(м²с), а высоты полета после первого отражения аппарата от плотных слоев атмосферы - равным 50 км.

Все перечисленные ограничения на режимы движения являются функционалами, дифференцируемыми по Гато. Ограничения на удельный тепловой поток в критической точке аппарата и на высоту после первого отражения от плотных слоёв атмосферы были рассмотрены в предыдущих задачах. Учёт ограничения на величину скоростного напора принципиально не отличается от учёта ограничения на удельный тепловой поток.

В качестве начального приближения программ управления были приняты постоянные значения углов атаки и крена , равные соответственно 25⁰ и 50⁰ . На рис. 5.14 показаны зависимости от времени контролируемых параметров траектории, реализующейся при начальном приближении программ управления, а именно, высоты , нормальной перегрузки , скоростного напора и удельного теплового потока в критической точке аппарата. Из приведённых зависимостей видно, что начальное приближение программ управления не обеспечивает выполнение ограничений на высоту полёта после первого отражения от плотных слоёв атмосферы и на скоростной напор.

Рис. 5.15 иллюстрирует процесс формирования управления траекторией аэрокосмического аппарата, обеспечивающего наибольшее значение боковой дальности спуска при выполнении ограничений на управление и параметры траектории. Показано изменение по итерациям улучшения управления оптимизируемого функционала задачи - конечной боковой дальности спуска и контролируемых функционалов, на которые наложены ограничения - максимальных значений высоты полета после первого отражения от плотных слоев атмосферы, нормальной перегрузки , скоростного напора и удельного теплового потока , и отмечены их допустимые значения - , , и .

На рис. 5.16 показаны полученные оптимальные программы изменения углов атаки и крена, обеспечивающие наибольшее значение боковой дальности спуска при выполнении ограничений на управление и параметры траектории, а также зависимости от времени высоты, боковой дальности, нормальной перегрузки, скоростного напора и удельного теплового потока, отмечены также допустимые значения этих параметров траектории.