Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде

(146.2)

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и под­становки их в (146.1) получим (146.3)Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен: (146.4) (если ( )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) ü+w²и=0, решением которого является функция и=А₀cos(wt+j)(см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий ( ) (146.5) где (146.6)— амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затуха­ющих колебаний с учетом формулы (146.4) равен Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм (146.7)— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

\ (146.8) (так как затухание мало ( ), то T принято равным Т₀).Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маят­ника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е. где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скоростиПри данных условиях закон движения маятника будет иметь вид (146.9)Используя формулу w₀= (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания (146.10)получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника: Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону где частота (см. (146.4)).Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), Q= /r. 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Диф­ференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R¹0) имеет вид (см. (143.2)) Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания (146.11)дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону 146.12)с частотой, согласно (146.4), (146.13)меньшей собственной частоты контура w₀ (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13) переходит в (143.4).Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8)) (146.14)В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебании растет и при d=w₀ обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптоти­чески приближается к нулю, когда t®¥. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Вопрос 9 Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маят­ника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости