Численное решение уравнения методом секущих. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Метод секущих — один из численных методов решения уравнений.

В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага. Тогда формула итераций оказывается очень проста:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

На чертеже справа изображены итерации при в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

Условие сходимости

Достаточное условие сходимости, таково:

Это неравенство может быть переписано в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимости итераций к корню может не быть.

Численное решение уравнения методом простых итераций. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Метод простых итераций

В ряде случаев весьма удобным приемом уточнения корня уравнения является метод последовательных приближений (метод итераций).

Пусть с точностью необходимо найти корень уравнения f(x)=0, принадлежащий интервалу изоляции [a,b]. Функция f(x) и ее первая производная непрерывны на этом отрезке.

Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 должно быть приведено к виду

(4.2)

В качестве начального приближения 0 выбираем любую точку интервала [a,b].

Далее итерационный процесс поиска корня строится по схеме:

(4.3)

В результате итерационный процесс поиска реализуется рекуррентной формулой (4.3). Процесс поиска прекращается, как только выполняется условие

(4.4)

или число итераций превысит заданное число N.

Для того, чтобы последовательность х₁, х₂,…, х_n приближалась к искомому корню, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости:

(4.5)

Рис. 4.6. Геометрический смысл метода

Переходим к построению схемы алгоритма (рис. 4.7). Вычисление функции оформим в виде подпрограммы.

Рис. 4.7. Схема алгоритма уточнения корня методом итераций