Задача 2. Задача об оптимальной диете

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа (i {1, 2, ..., n}) содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида (j {1, 2, ..., m}). Известна минимальная суточная потребность b_j (j {1,2,..., т}) человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность с_i одной весовой единицы i-го продукта (i принадлежит {1, 2, ..., n}).

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х — весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

(4)

где множество допустимых альтернатив ∆ß формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

(5)

x1,x2,…,xn ≥ 0 (6)

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград (n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы (m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая: с1 = 2060, с2= 2430, с3= 3600, с4= 890, с5= 140, с6= 230, с7 = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы.

Таблица. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/ питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки
Жиры
Углеводы

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b1 = 100, в жирах b2= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Этап. Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

2060Х1+2430Х2+3600Х3+890Х4+140X5+230X6+650X7=Fmin – целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

{61Х1+220Х2+230Х3+15Х4+8X5+11X6+2X7 >= 100

{12Х1+172Х2+290Х3+Х4 +X5+2X6+6X7 >=70 - ограничения модели

{420Х1+212Х4 +26X5+38X6+155X7 >=400

x1,x2,…,xn ≥ 0, где n=7 - граничные условия

Этап. Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

1. Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4.

2. В ячейки ВЗ:НЗвведем значения коэффициентов целевой функции: с₁ = 2060, c₂ = 2430, c₃ = 3600, c₄ = 890, c₅ = 140, c₆ = 230, c₇ = 650.

3. В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(B2:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).

4. В ячейки В5:Н7введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

5. В ячейки J5:J7введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b₁=100, жирах b₂= 70 и углеводах b₃ = 400.

6. В ячейку I5введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).

7. Скопируем формулу, введенную в ячейку I5,в ячейки I6 и I7.

Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 6.4).

Рис. 6.4. Исходные данные для решения задачи об оптимальной диете

Следует напомнить, что для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить операцию главного меню: Сервис| Параметры и в открывшемся диалоговом окне на вкладке Видотметить флажком строку выбора Формулыв группе Параметры окна.