Рядыс положительнымичленами.

Очевидно,чтоутакихрядовчастныесуммырастутсростомколичестваслагаемых.Большуюрольприисследованиичисловыхрядовсположительнымичленамииграют следующиетеоремысравнения.

Теоремасравнения1. Пусть0< ak£ bk.Тогдаизсходимостиряда

¥

åbkk=1

следуетсходимостьряда

¥

¥

åakk=1

и из расходимостиряда

¥

åakk=1

следует

расходимость ряда

åbk.

k=1

k=1

¥ n+1

Пример.Исследоватьсходимостьчисловогоряда

¥

å 2n2- 3.Сравним

этотрядсрядом

å 1.Последнийрядрасходится,таккаквпротивном

k=12n

случаесходилсябыгармоническийрядиегосуммавсоответствииспервым

свойствомбылавдвоебольшесуммыряда

¥

å .Таккак

n+1

2

> 1,то

исходныйрядтакжерасходится.

k=12n

2n-3 2n

Теоремасравнения2. Пусть

ak> 0,

bk> 0,

причем существует

liman= K(¹ 0).Тогдаряды

n®¥ bn

одновременно.

¥

åak и

k=1

¥

åbkk=1

сходятся или расходятся

Доказательство. Изопределенияпределапри

a K

e = K

2

найдемNтакое,

3 2

что|

n- K|< 2

прилюбомn> N.Следовательно,a<

K×b,

b< ×a

bn n

¥

2 n n K n

¥

приn> N.Согласнотеоремесравнения1ряды

åak+ N и

k=1

åbk+ Nсходятся

k=1

илирасходятсяодновременно.Согласносвойству2 сходящихсярядовтеоремадоказана.

k=1

¥ 3k7+ 8

Пример.Числовойряд

å10k9+ 6k3+ 4

сходится,таккакегоможно

¥

сравнить со сходящимся рядом å 1

, рассмотренным выше.

Действительно,существуеттеоремусравнения 2.

k=1k(k+1)

lim =

(3n7+8)n(n+1) 3

n®¥ (10n9+ 6n3+ 4) 10,иможноприменить

Дваследующихдостаточныхусловиясходимостичисловыхрядовсположительнымичленами,называютсяпризнакамисходимости.Здесьприводятсядоказательствонаосноветеоремысравнениятолькоодногоизних.

ПризнакДаламбера.Пустьсуществует

liman+1= p.Если

p<1,торяд

¥

åakсходится,если

k=1

n®¥ an

p>1,тоэтотрядрасходится.

n

¥

Пример. Исследуем сходимость ряда

å1000 . Здесь

1000n,

1000n+1

n=1 n!

an+1 1000

an= n!

an+1=

(n+1)!

. Таккак

lim

n®¥ an

= lim

n®¥

n+1= 0, данныйряд

сходится.

n

ПризнакКоши.Пустьсуществуетlimna= p.Если

n®¥

p<1,торяд

¥

åakk=1

сходится, если

p>1,тоэтотрядрасходится.

что

Доказательство.Пусть

p<1.Возьмем

e < (1- p)/2

инайдемNтакое,

|nan- p|<e

приn> N.

Следовательно,

nan

<e + p= p<1 и

¥

an< pn

приn> N.Согласно

k

¥

теоремесравнения1ряд

åak+N

сходится,таккаксходитсяряд

å p1 .

k=1

Следовательно, и исходныйрядсходится.

k=1

Пусть

p>1.Возьмемe < (p-1)/2

и найдемNтакое, что

|nan- p|<e

приn> N.Следовательно,

nan> -e + p= p2>1и

n

¥

an> p2

приn> N.Согласнотеоремесравнения1ряд

¥

åak+Nk=1

расходится,таккак

k

расходитсяряд

å p2

k=1

. Следовательно,и исходныйрядрасходится.

¥ n2

Пример.Исследуем сходимость ряда

å . Так как

n=1(2+ )n

n

limna

n 2

n

= lim

= 1, данныйрядсходится.

n®¥

n n®¥ 2+ 1 2

n

Следующийпризнакоснованнасравнениирядаинесобственногоинтеграла,подынтегральнаяфункциякоторогопринатуральныхзначенияхаргументапревращается вчленыряда.

Интегральныйпризнак.Пустьчленыряда

¥

åakмонотонноубываютс

k=1

ростомn.Если функция

¥

f(x)

такова,что

f(n)= an,тосходимостьили

расходимость ряда

åakравносильна сходимости или расходимости

k=1

несобственногоинтеграла

¥

ò f(x)dx.

Данныйпризнакдаетвозможностьсделатьвыводо сходимостиили

¥

расходимостирядавида å

,притом,чтодвапредыдущихпризнакане

k=1ka

позволяютэтосделать,таккаквобоихслучаяхздесь

¥

p=1.Вспомним,что

a

несобственныйинтегралò dx

сходитсяпри

a >1

ирасходитсяпри

a £1.

¥

Поэтому рядå 1

1x

сходитсяприa >1ирасходитсяприa £1.

k=1ka

Знакопеременные ряды

Длязнакопеременныхрядовприведенныепризнакисходимоститакжеможноприменять,нодляисследованияабсолютнойсходимости.Делов

том,чтоеслиряд

¥

¥

å|ck|

k=1

сходится,тосходитсяиряд

¥

åck,причемвэтом

k=1

случаеряд

åckназываетсяабсолютносходящимся.Такимобразом,если

k=1

имеетсязнакопеременныйряд

¥

åck,имеетсмыслпроверитьвозможность

k=1

применениякакого-либопризнакасходимостикряду

¥

¥

å|ck|,иеслиусловия

k=1

сходимостивыполняются, исходныйряд

åckсходитсяабсолютно.

k=1

Пример. Ряд

¥

å

k=1

(-1)k

ka

сходитсяабсолютноприa >1.

ПризнакЛейбницасходимостизнакочередующегосяряда. Пусть

членыположительнойпоследовательности

¥

ak,монотонноубывая,стремятся

k-1

кнулюприk®¥ .Тогдаряд

å

k=1

(-1) ak

сходится.

Доказательство.Рассмотримпоследовательностьчетныхчастныхсумм

s2n= a1- a2+ a3-......+ a2n-1- a2n= (a1- a2)+ (a3- a4)+...+ (a2n-1- a2n)> 0.

Очевидно,чтосростомnзначения

s2n

возрастают.Теперьзапишемэтуже

частную сумму в ином виде:

s2n= a1-(a2- a3)-......- (a2n-2- a2n-1)- a2n.

Очевидно,что

s2n< a1.Такимобразом,мыимееммонотонновозрастающую

ограниченную сверху последовательность

s2n. По одному из свойств

последовательностей существует

lims = s. Итак, последовательность

2n

n®¥

частныхсуммс четныминомерамиимеет предел.Чтоже с нечетнымичастнымисуммами?

Так как

s2n+1= s2n+ a2n+1 и

lima2n+1= 0, то существует

n®¥

lims2n+1= lims2n+ lima2n+1= s.Следовательно,существуетlimsn= s.

n®¥

n®¥

n®¥

n®¥

Пример. Ряд

¥

å

k=1

(-1)k

ka

сходитсяпопризнакуЛейбницаприлюбом

a > 0.

В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы

показали,чтоэтотрядпри

a >1

сходитсяабсолютно.При 0<a £1

рядне

может абсолютносходиться.Ноон сходитсяпопризнакуЛейбница.

Ряд,сходящийся, нонесходящийсяабсолютно,называетсяусловносходящимся.

Функциональныеряды

{ n }

Пусть f(x) ,

nÎN

xÎM,

–последовательностьфункций,заданныхна

одномитомжемножестве,причемприкаждомзначении

¥

x0ÎM

числовой

ряд

¥

å fk(x0)

k=1

сходится. Тогдамы можемрассматриватьфункциональныйряд

å fk(x)

k=1

намножествеM иисследоватьсвойствафункции

s(x)–суммы

ряда –на томже множествеM.

В связи с вопросамисходимостифункциональныхрядовотметимследующийиз теоремысравнениямажорантныйпризнаксходимости

функциональногоряда:если

$an> 0такоечто

¥

"xÎM,

"nÎN(|fn(x)|£ an)

ирядсположительнымичленами

¥

åakk=1

сходится,тофункциональныйряд

å fk(x)

k=1

абсолютносходится намножествеM.

Степенные ряды

Простейшимпримеромфункциональногорядаявляетсястепеннойряд–

¥

рядвида

åck

k=0

(x- a)k. Числа

ck,k= 0,1,..., называются коэффициентами

степенногоряда.Посколькупростойзаменойпеременнойx= x- a

¥

исходный

k

степеннойрядпревращаетсявряд

å

k=0

ckx,мыбудемрассматриватьтолько

степенныерядывида

¥

å

k=0

k

ckx.Очевидно,чтотакойрядобязательносходится

вточкедает

x= 0.Ответомнавопрособобластисходимостистепенногоряда

ТеоремаАбеля.Пустьряд

¥

å

k=0

k

ckx

сходитсявточке

x= x1,тогдаон

сходится,причемабсолютно, при"x,|x|<|x1|.

¥

k

Пустьряд

"x,|x|>|x2|.

å

k=0

ckx

расходитсявточке

¥

x= x2

,тогдаонрасходитсяпри

k

Доказательство.Так какряд

åckx1

сходится,тообщийчленэтогоряда

k=0

стремитсяк нулю, изначит,ограничен,то есть,

k

$M> 0

k 1

тчо|cxk|£ M.

k

Пусть

|x|<|x1|

тогда

|cxk|£ Mx

k

x

.Таккакряд

¥ x

å

Mx

сходится,

то потеоремесравненияабсолютносходитсяряд

¥

k

åckx1

k=1 1

.

Таккак

¥

k

åckx2

k=0

расходится,то

¥

å

k=0

k

ckx

k=0

не может сходитьсянипри

какихзначениях

x, |x|>|x2|,таккаквпротивномслучаеонбысходился,в

соответствии с доказаннойчастьютеоремы, ипри

x= x2.

ИзтеоремыАбеляследует,в частности,чтообластьсходимости

¥

k

степенногоряда

å

k=0

ckx

представляетсобойнекоторыйинтервал(-R,R),а

областьрасходимости–внешностьэтогоинтервала.Чтокасаетсядвухточекx= ±R,являющихсяграницамиэтогоинтервала,тосходимостьилирасходимостьрядавэтихточкахследуетпроверятьдлякаждойфункциииндивидуально.

Число Rназываетсярадиусомсходимостистепенногоряда.Интервал

(-R,R)

называетсяинтерваломсходимостистепенногоряда.

Способыопределениярадиуса сходимостистепенногоряда

1. В соответствии с признаком Даламбера если

|c xn+1| |c

||x| ¥

|c ||x|

lim

n+1

= lim

n+1

<1,то

å|cxk|

сходится,если

lim

n+1

>1,

n®¥

|cnxn+1|

¥

å

n®¥

k

|cn|

kk=0

n®¥

|cn|

то ряд

k=0

|cxk|

расходится. Следовательно, при |x|= R

имеем:

lim|cn+1|R=1

или

R= lim

|cn|.

n®¥

|cn|

n®¥ |cn+1|

2. АналогичноиспользуяпризнакКоши, получим

R= 1 .

n

limn|c |

n®¥

¥ xn

Пример1.Найтиобластьсходимостистепенногоряда

å p.Найдем

n

n=1

радиуссходимости.Здесь

c= 1

. Следовательно,

R= lim(n+1)p

=1.

n np

Проверим сходимость в точке

n®¥

x=1. Имеем ряд

np

¥

å p, который

сходится, если

p>1ирасходится,если

p£1.

n=1n

Проверимсходимостьв точке

x= -1.Имеемряд

¥

å

n=1

(-1)n, который

np

сходится, если

p> 0

и расходится, если

p£ 0.

Замечание.Внутри интервала сходимости ряд можно почленноинтегрироватьидифференцироватьлюбоечислораз.Этозначит,чтоесли

¥ b ¥ b

k

k

åckx= s(x),|x|< R,то1)

ò s(x)dx= å

ckò xdx,|a|,|b|< R,

k=0

2)(s(x))(m)=

¥

å ck

k=m

a

(xk)(m),|x|< R.

k=0 a