Управление посредством экспертного опроса.
Требуется определить объем финансирования проекта, каждый из n экспертов дает свою оценку si из отрезка [d, D], после чего определяется итоговое решение х. Если в качестве решения принять среднее
арифметическое мнений экспертов
1 n
|
i =1
то такое решение допускает манипулирование, т.е. эксперт может сознательно искажать (завышать или занижать) свою оценку, чтобы добиться необходимого ему результата.
Чтобы избежать манипулирования со стороны экспертов применяют различные методы. Самый простой из них – отбрасывают крайние оценки (минимальную и максимальную), но этот способ позволяет избавиться только от самых рьяных «лоббистов». Более эффективный способ заключается в следующем:
Оценки {si} располагаются по возрастанию, отрезок [d, D] разбивается на n частей, нижние границы этих частей {vi} располагаются по убыванию. Итоговым решением является
x = max min {si, vi}.
Пример 12. Пусть 6 экспертов сообщили следующие оценки из интервала
[40,100]: 65, 90, 45, 80, 75, 90. Расчетные данные сведем в табл. 14.
Таблица 14
| i | ||||||
| si | ||||||
| vi | ||||||
| min {si, vi} |
В качестве итогового решения берется максимальное число в
последней строке x = 70.
Тема 6. Коллективные решения.
Рассмотрим принципы и методы принятия коллективных решений на хорошо знакомом всем примере – выборы в некий представительный орган одного из нескольких имеющихся кандидатов.
Парадокс Кондорсе.
Французский ученый маркиз де Кондорсе (1743-1794) предложил следующий принцип определения победителя на демократических выборах: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.
Принцип де Кондорсе предлагался как демократический и рациональный. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим его имя. Пусть на голосование поставлены три кандидата А, В и С, и голоса 60 избирателей распределились, как в табл.
15.
Таблица 15
Распределение голосов (парадокс Кондорсе)
| Число голосующих | Предпочтения |
| А, В, С | |
| В, С, А | |
| В, А, С | |
| С, А, В | |
| С, В, А |
Кандидата А по сравнению с кандидатом С предпочитают 23+2=25
избирателей, тогда как кандидата С по сравнению с кандидатом А
предпочитают 17+10+8=35, т.е. С предпочтительнее А.
Сравнивая попарно аналогичным образом А и В, В и С, получаем: А предпочтительнее В (33 против 27), В предпочтительнее С (42 против 18). Получилось противоречие.
Интересно, что если во второй тур выходят два кандидата, то за бортом остается С, который является более предпочтительным, чем А при попарном сравнении.
Еще более интересной складывается ситуация в следующем примере
(табл. 16):
Таблица 16. Распределение голосов
| Число голосующих | Предпочтения |
| А, С, В | |
| В, С, А | |
| С, В, А | |
| С, А, В |
При этих результатах голосования при попарном сравнении кандидат
С побеждает двух других кандидатов, но проигрывает им обоим по
большинству голосующих, которые назвали данного кандидата лучшим.
Следовательно, принятие оптимального коллективного решения существенно зависит от процедуры и критериев выбора.
Метод Борда.
Согласно этому методу, результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов. Если число кандидатов равно n, то за первое место присуждается n баллов, за второе – n-1, за последнее – один балл.
Применим метод Борда к приведенному выше примеру (табл. 16).
Кандидат А набрал 23×3+19×1+16×1+2×2=108 баллов, кандидат В набрал 23×1+19×3+16×2+2×1=114 баллов, кандидат С набрал 23×2+19×2+16×3+2×3=138 баллов.
В соответствие с методом Борда опять побеждает С, который проигрывает по большинству голосующих.
Можно привести еще более казусный пример (табл. 17).
Таблица 17. Распределение голосов
| Число голосующих | Предпочтения |
| А, С, В | |
| В, С, А | |
| С, В, А |
Кандидат А набрал 31×3+12×1+17×1=122баллов,
кандидат В набрал 31×1+12×3+17×2=101баллов,
кандидат С набрал 31×2+12×2+17×3=137баллов.
В соответствие с методом Борда опять побеждает С, однако кандидат
А набрал абсолютное большинство голосов: 31 из 60!
Аксиомы Эрроу.
Существуют и другие системы голосования, например, многотуровый выбор с вычеркиванием кандидатов, набравших наименьшее число голосов, система вычеркивания нежелаемых кандидатов и т.д.
Систематическое исследование всех возможных систем голосования провел в 1951г. К. Эрроу. Он ввел понятие «идеальной» системы, которая должна быть одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек – один голос) и решающей (позволяла бы осуществить выбор). Эрроу предложил набор аксиом, которым должна удовлетворять «идеальная» система. Аксиомы формировались с позиций здравого смысла и интуитивно понимаемого понятия справедливости.
• Аксиома универсальности. Система голосования должна
учитывать все возможные распределения голосов.
• Аксиома единогласия. Коллективный выбор должен повторять в точности единогласное мнение всех голосующих.
• Аксиома независимости от несвязанных альтернатив. Если избиратель считает, что кандидат А лучше В, то это предпочтение не
должно зависеть от отношения данного избирателя к прочим кандидатам.
Эта аксиома часто нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам, они стараются учесть возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата, оставляя ему шанс стать победителем, для чего занижают оценку А по сравнению с В при примерно равном их выступлении.
• Аксиома полноты. Система голосования должна позволять
сравнивать любую пару кандидатов, определяя лучшего.
• Аксиома транзитивности. Если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А, а кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Эта аксиома
обеспечивает рациональность системы.
Эрроу доказал, что системы голосования, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, не являются демократическими: каждая из них является правилом диктатора – личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.
Результат Эрроу называют «теоремой невозможности», т.к. требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу. Таким образом, вопрос создания совершенной системы голосования остался открытым.
Многочисленные попытки несколько изменить аксиомы Эрроу, смягчить некоторые требования приводили к созданию систем голосования, которые обладали рядом существенных недостатков.
С точки зрения реальной жизни важно знать, насколько часто нарушаются все аксиомы одновременно. Исследования показали, что при соблюдении первых четырех аксиом рациональность (аксиома транзитивности) нарушается примерно в 6 – 9% случаев.
Примириться с «теоремой невозможности» Эрроу помогут известные слова У. Черчиля о том, что демократия является плохой формой правления, но человечество пока не придумало ничего лучшего.