Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела
3.6.27. К валу АВ жестко прикреплен горизонтальный однородный стержень (рис. 487) длиной l = 2 м и массой т = 12 кг. Валу сообщена угловая скорость ω0 = 2 рад/с. Предоставленный самому себе, он остановился, сделав 20 оборотов. Определить момент трения в подшипниках, считая его постоянным. (0,255)
3.6.28. Математический маятник 1 массой т и длиной l и однородный стержень 2 массой т и длиной 2l отпускают без начальной скорости из заданных на рис. 488 положений. Укажите номер тела, скорость центра масс которого будет больше в нижнем положении. (1)
Рис. 487 Рис. 488 Рис. 489
3.6.29. Тонкостенный цилиндр массой т и радиуса R = 0,5 м катится без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 489). Определить путь, пройденный центром С цилиндра до остановки, если в начальный момент времени угловая скорость цилиндра ω0 = 4 рад/с. Коэффициент трения качения δ = 0,01 м. (20,4)
3.6.30. Однородный диск массой т и радиуса r (рис.490)катится без скольжения по наклонной плоскости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска v0 = 4 м/с. Определить путь, пройденный центром С диска до остановки. (2,45)
Рис. 490 Рис. 491 Рис. 492
3.6.31. Тонкое кольцо радиуса r = 0,1 м (рис. 491) катится без скольжения из состояния покоя I по внутрен-ней поверхности горизонтального цилиндра радиуса R = 0,6 м. Определить скорость центра кольца в нижнем положении II. (1,57)
3.6.32. Через неподвижный блок перекинута нить к концам которой подвешены грузы массой 2 и 4 кг. Определить ускорение грузов. (3,27)
3.6.33. Грузы 1 и 2 массой m1= 2 кг и т2 = 1 кг подвешены к концам гибкой нити, перекинутой через блок (рис. 492). Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на высоту h = 3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя. (4,43)
3.6.34. Грузы 1 и 2 одинаковой массы т, соединенные между собой гибкой нитью (рис. 493), движутся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость v0= 2 м/с. Определить коэффициент трения скольжения, если тела останавливаются, пройдя путь, равный 4 м. (5,10·10-2)
Рис. 493 Рис. 494 Рис. 495
3.6.35. Одинаковые зубчатые колеса 1 и 2 массой 2 кг каждый (рис.494) приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 1 Н·м. Опре-делить угловую скорость колес после двух оборотов, если радиус инерции каждого из колес относительно оси вращения равен 0,2 м. (12,5)
3.6.36. Ременная передача (рис.495) начинает движе-ние из состояния покоя под действием постоянного мо-мента пары сил М = 2,5 Н·м. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения J2 = 2J1 = 1 кг·м2. Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборо-тов, если радиусы шкивов R2 = 2R1. (11,2)
3.6.37. Момент инерции зубчатого колеса 1 (рис. 496) относительно оси вращения равен 0,1 кг·м2. Общая масса рейки 2 и груза 3 равна 100 кг. Определить скорость рейки при ее перемещении на расстояние х = 0,2 м, если вначале система находилась в покое. Радиус колеса r = 0,1 м. (1,89)
Рис. 496 Рис. 497 Рис. 498
3.6.38. Однородные цилиндрические катки 1 и 2 мас-сой 20 кг каждый (рис. 497) приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 2 Н·м. Определить скорость осей катков при их перемеще-нии на расстояние 3 м, если радиусы R1 = R2 = 0,2 м. (1)
3.6.39. Движение шкива 2 ременной передачи (рис. 498) начинается из состояния покоя под действием постоянного момента М = 0,5 Н·м. После трех оборотов одинаковые по массе и размерам шкивы 1 и 2 имеют угловую скорость 2 рад/с. Определить момент инерции одного шкива относительно его оси вращения. (2,36)
3.6.40. Определить скорость груза 2 (рис. 499) в момент времени, когда он опустился вниз на расстояние s = 4 м, если массы грузов т1 = 2 кг, m2 = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое. (7,23)
3.6.41. Одинаковыеблоки 1 и 2 массой т1 = m2 и радиусамиR1 = R2 (рис. 500) представляющие собой однородные диски, начинают движение из состояния покоя под действием силы тяжести. Определить скорость центра С блока 1 после того, как он опустился вниз на расстояние s = 1 м. (2,37)
Рис. 499 Рис. 500 Рис. 501
3.6.42*.Вагонетка А при помощи лебедки В (рис. 501)опускается по наклонной плоскости со скоростью 2 м/с.
Найти величину М постоянного тормозящего момента, который нужно приложить к барабану лебедки, чтобы после начала торможения вагонетка прошла до остановки путь 10 м. Масса вагонетки без колес равна 10,2 кг. Колеса читать сплошными однородными дисками. Радиус барабана равен 0,2 м, а его момент инерции относительно оси вращения – 0,4 кг·м2. Колеса катятся по рельсам без скольжения.
Ответ: М = 251 Н·м.
3.6.43*.Груз А массой т1 опускается на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок В и намотан на барабан D, заставляя при этом колесо Е катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 502). Барабан D радиусом r жесткосвязан с колесом Е радиу-сом R их общая масса равна т2, а радиус инерции относительно горизонтальной оси С равен ρ. Найти скорость груза А после того, как он из состояния покоя опустился на высоту h.
Ответ: 
.
Рис. 502 Рис. 503 Рис. 504
3.6.44*. Под действием приложенного к колесу I момента М и сил тяжести звеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 503. Найти величину постоянного момента М, если в момент, когда колесо I повернулось на угол 3π/2 рад, его угловая скорость стала равной ω1. Колесо I-однородный диск массой 2т и радиусом r, шатун II-однородный тонкий стержень массой т и длиной 4r, ползунIII – материаль-ная точка массой т/2.
Ответ: 
3.6.45*. Эпициклический механизм расположен в вертикальной плоскости. Из состояния покоя (показаного на рис. 504)он приводится в движение моментом М, приложенным к кривошипу ОА. тОА = т, т II = 2т, r1= 2r, r2 = r, М = 10mgr. Найти угловую скорость кривошипа как функцию угла его поворота.
Ответ: 
.
3.6.46*. КолесоII радиусом r2 и массой m1, которое приводится в движение кривошипом ОА, катится без скольжения по неподвижному колесу I радиусом r, (рис. 504). Масса кривошипа т2. Колесо II считать однородным сплошным круглым диском, а кривошип - однородным тонким стержнем. Трением в подшипниках пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости, 
. Найти угловое ускорение кривошипа, если к нему приложен постоянный вращающий момент М, а к колесуII - постоянный тормозящий момент M2.
Ответ: 
3.6.47*. Линейка АВ эллипсографа (рис. 505) шарнир-но соединена с кривошипом ОС, который может вращать-ся вокруг оси О, а также с ползунами А и В, скользящими по прямолинейным направляющим ОА (вертикальной) и ОВ (горизонтальной). Кривошип массой m и линейку массой 2т считать однородными тонкими стержнями. Масса каждого ползуна А и В равна 3т, ОС = АС= СВ = а. В начальный момент α = 30° и система находится в покое. Пренебрегая трением, найти угловую скорость кривоши-па после того, как он повернулся на 60°, если к нему приложен постоянный вращающий момент М.
Ответ: 
.
3.6.48*. Под действием приложенного к кривошипу ОА момента М и сил тяжестизвеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 506. Найти угловую скорость кривошипа, когда он повернется на угол φ= 3π/2. Кривошип ОА и шатун АВ считать тонки-ми однородными стержнями, колесо D - однородным диском. Колесо катится без проскальзывания, ОА =l, АВ = 4l, r = l, mOA = m, тAB = 4m, mD = 8m, М = 3mgl.
Ответ: ω = 1,42 
.
Рис. 505Рис. 506
3.6.49*.Вагонетка А при помощи лебедки B начи-нает подниматься из состояния покоя по наклонной плоскости (рис. 501). К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент M = 120 Н·м. Масса вагонетки без колес m1 = 81,6 кг, масса каждого из четырех колес m2 = 5,1 кг, колеса считать сплошными однородными дисками, угол α = 30°, радиус барабана R = 20 см, его момент инерции относительно оси вращения J= 0,40 кг·м2, колеса катятся по рельсам без скольжения. Найти зависимость скорости вагонетки от времени.
Ответ: v = 0,82t м/с.
3.6.50*. Груз А массой m1, подвешенный к подвижно-му блоку В массой m2 начинает падение из состояния покоя, приводя в движение всю систему (рис. 507). Для стабилизации падения груза А к барабану D массой m3 и радиусом R прикладывается тормозящий момент, пропор-циональный угловой скорости барабана: М = kωD. Считать барабан и блок однородными сплошными дисками. Найти максимальную скорость груза А.
Ответ: 
.
Рис.507 Рис. 508
3.6.51*. Однородный сплошной диск радиусом r = 0,5 м может катиться в вертикальной плоскости без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндра радиусом R = 2 м. Найти период малых колебаний центра диска относительно положения его статического равновесия.
Ответ: Т = 
= 3 с.
3.6.52*. Линейка АВ эллипсографа массой 1,2 кг и длиной 0,4 м удерживается в горизонтальном положении статического равновесия вертикальной пружиной AD жесткостью 117,6 Н/м (рис. 508). Масса каждого из ползунов А и В равна 0,2 кг. Пренебрегая трением, найти частоту и период малых колебаний линейки около положения ее статического равновесия.
Ответ: k = 14 рад/с, Т = 0,45 с.
3.6.53*. Груз А массой 20 кг опускается вместе с подвижным блоком В массой 4 кг и радиусом r = 10 см на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок D радиусом r1= r и приводящей в движение барабан Е массой 10 кг и радиусом r2 = r (рис. 509). Барабан катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 60°. Считая подвижный блок и барабан сплошными однородными дисками и пренебрегая массой блока D найти ускорение груза А.
Ответ: a = 0,76 м/с2.
3.6.54*. Центр однородного диска массой m и радиусом r, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткостью с = 2mg/r. К центру диска приложена сила 
. В начальный момент диск покоится в положении статического равновесия. Найти движение центра диска.
Ответ: х = 
.
Рис. 509Рис. 510
3.6.55*. Доска АВ массой 3,5 кг, к которой прикреп-лены две одинаковые пружины жесткостью 490 Н/м каждая, лежит на двух одинаковых катках массой 2 кг (рис. 510). Пружины крепятся к неподвижным стенкам. К доске приложена возмущающая сила S = Н sin ωt, причем
H = 8 Н, а ω = 12 рад/с. Скольжение между доской и кат-ками, а также между катками и горизонтальной плоско-стью отсутствует. Найти вынужденные колебания доски.
Ответ: х = 3 sin 12t см.
3.7. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
Если в каждой точке движущейся механической системы условно приложить соответствующую силу инерции, то в любой момент движения действующие на эту точку активные силы (внешние и внутренние), силы реакций связей (внешних и внутренних) и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.
Главный вектор сил инерции механической системы равен массе системы, умноженной на ускорение ее центра масс, и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.
.
Главный момент сил инерции системы относительно точки О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.
.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,главный момент сил инерции равен
,
где Jz – момент инерции тела относительно оси z, ε – угловое ускорение тела.
При использовании принципа Даламбера для реше-ния задач рекомендуется следующая последовательность действий:
1) изобразить механическую систему с приложенными к ней активными силами и реакциями внешних связей;
2) показать на схеме ускорение тела, движение которого задано или ищется, и в зависимости от его направления показать ускорения (линейные и угловые) всех остальных тел системы;
3) приложить ко всем телам системы главные векторы и главные моменты сил инерции, найти их значения, выразив определяющие их ускорения через заданное или искомое ускорение;
4) выбрать систему координат;
5) составить уравнения равновесия полученной системы сил;
6) решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.
Оси координат и точки, относительно которых берут-ся моменты сил, выбираются так, чтобы не подлежащие определению неизвестные силы не входили в уравнения равновесия. Если из составленных уравнений для нерасчлененной системы определить искомые величины не представляется возможным, то применяют метод расчленения системы на составные части. К каждой части прикладываются активные силы (внешние и внутренние), реакции отброшенных внешних и внутренних связей и силы инерции. Составляются уравнения принципа Даламбера для каждой части, и в результате их совместного решения находятся искомые величины.
Пример 1. Груз М массой m1, опускаясь вертикально вниз, приводит в движение барабан А массой m2 с помощью гибкой нерастяжимой нити, перекинутой через блок О массой т3, (рис. 511, а). Барабан катится без проскальзывания по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Считая блок и барабан однородными круглыми дисками, найти ускорение тела А и натяжения левой и правой частей нити.
Решение. Изобразив на схеме нерасчлененной системы внешние силы ( 
( 
), а также главные векторы и главные моменты сил инерции входящих в систему тел ( 
) получим плоскую систему сил, в три уравнения равновесия которой войдут пять неизвестных (ХО, УО, N, Fтр, Ф). Поэтому расчленим систему на три части (рис. 511, б) и применим к каждой из них принцип Даламбера.
Рис. 511
Главные векторы и главные моменты сил инерции тел системы равны
.
Составим уравнения равновесия вышеперечисленных сил для каждого тела:
для тела М 
Т1 + Ф - Р = 0, откуда Т1 = т1(g - а);
для барабана A 
откуда
Т2 = RФ+ G sin α + 
= m2a + G sin α + m2 a/2= m2 (3a/2 + g sin α),
для блока О 
откуда, подставив значения T1 и T2, окончательно получим,
или
.
Зная ускорение груза А, найдем натяжения нитей:
,
.
Задачи