Линейные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением п-го по­рядка называется уравнение вида

линейные уравнения высших порядков - student2.ru (1)

Здесь функции линейные уравнения высших порядков - student2.ru и f(x) заданы и непрерывны в некото­ром промежутке(а, b).

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же f(x)≡0, то уравнение называется линейным однород­ным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднород­ное, называется соответствующим ему.

Зная одно частное решение у1 линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции линейные уравнения высших порядков - student2.ru понизить поря­док, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n-1)-го порядка относительно z также является линейным.

676. Дано уравнение линейные уравнения высших порядков - student2.ru и известно частное решение y1 = ln(х) соответствующего однородного уравне­ния. Понизить порядок уравнения.

Решение:

Воспользуемся подстановкой линейные уравнения высших порядков - student2.ru , где z — новая неизвестная функция. Тогда, подставляя соответствующие производные

линейные уравнения высших порядков - student2.ru , линейные уравнения высших порядков - student2.ru , линейные уравнения высших порядков - student2.ru

в данное уравнение, получим уравнение второго порядка

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Примечание. Отметим, что применяя указанную подстановку к ли­нейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение пер­вого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квад­ратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно ча­стное решение соответствующего однородного уравнения.

677. Проинтегрировать уравнение линейные уравнения высших порядков - student2.ru , имеющее частное решение линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Решение. Произведем замену линейные уравнения высших порядков - student2.ru ;

тогда

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Получаем уравнение

Следовательно,

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у" sin2x= 2у, имеющее частное решение у=ctgх.

679. Уравнение линейные уравнения высших порядков - student2.ru имеет частное решение у = х. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.

680. Уравнение линейные уравнения высших порядков - student2.ru имеет частное решение у=sinх. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.

2. Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре об­щего решения линейного однородного уравнения.

Теорема. Если у1, у2, ..., yn—линейно независимые частные реше­ния уравнения

линейные уравнения высших порядков - student2.ru .

то у = С1 y1 + С2 y2 + ... + Сn yn есть общее решение этого уравнения (С1, С2, ..., Сn—произвольные постоянные).

П р и м е ч а н и е. Функции у1 (х), у2(х), ..., yn(х) называются линейно независимыми в промежутке (а, b), если они не связаны никаким тождеством

линейные уравнения высших порядков - student2.ru .

где α1, α2, ..., αn—какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции y1 (х) и y2 (х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: y1/ y2 ≠ соnst. Например: 1) у1=х, y22—линейно независимы; 2) у1x, у1=е-x — линейно независимы; 3) у1=2езх, у2=5езx — линейно зависимы.

Достаточным условием линейной независимости п функций, непрерывных вместе со своими производными до (п—1)-го порядка в промежутке(а, b),является то, что определитель Вронского (вронскиан) W [у1, y2, ..., yn ]этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка(а, b),т. е.

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Если данные п функций являются частными решениями линейного одно­родного дифференциального уравнения n-го порядка, то это условие (необра­щение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих п решений.

Вронскиан л решений линейного однородного уравнения n-го порядка

линейные уравнения высших порядков - student2.ru связан с первым коэффициентом этого уравнения а1(х) формулой Лиувилля — Остроградского:

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Совокупность n решений линейного однородного уравнения n-го порядка, оп­ределенных и линейно независимых в промежутке(а, b), называется фунда­ментальной системой решений этого уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений у1 (х) и y2(х), его общее решение находится по формуле

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Если для такого уравнения известно одно частное решение у1 (х), то вто­рое его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле

(являющейся следствием формулы Лиувилля—Остроградского)

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не при­бегая к понижениюих порядка.

Так, в примере 677для уравнения линейные уравнения высших порядков - student2.ru известно решение

линейные уравнения высших порядков - student2.ru Найдем по приведенной выше формуле второе решение:

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Рекомендуем решить этим способом примеры 678—680.

681. Показать, что линейные уравнения высших порядков - student2.ru является общим реше­нием уравнения у"—9y=0.

Решение. Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции у13x и у2-3x являются его решениями. Эти частные решения линейно незави­симы, так как линейные уравнения высших порядков - student2.ru , а потому они составляют фун­даментальную систему решений и, следовательно, линейные уравнения высших порядков - student2.ru —общее решение.

682. Дано уравнение у'"—у'=0. Составляют ли фундамен­тальную систему решений функции еx, е-x, сh х, являющиеся, как легко проверить, решениями этого уравнения?

Решение. Для проверки линейной независимости этих решений вычислим врон­скиан:

линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можно получить быстрее, поскольку линейные уравнения высших порядков - student2.ru и, следовательно, данные три функции линейно зависимы.

683. Уравнению у"—у=0 удовлетворяют два частных реше­ния y1=shx, y2=chx. Составляют ли они фундаментальную систему?

684. Можно ли составить общее решение уравнения

линейные уравнения высших порядков - student2.ru (x≠0) по двум его частным решениям линейные уравнения высших порядков - student2.ru

Установить, являются ли линейно независимыми в проме­жутке своего существования следующие функции:

685. x+1, 2x+1, х+2.

686. 2x2+1, x2-1, х+2.

687. линейные уравнения высших порядков - student2.ru , линейные уравнения высших порядков - student2.ru , линейные уравнения высших порядков - student2.ru .

688. ln(2х), ln(3x), ln(4x).

Наши рекомендации