Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки

КИНЕМАТИКА

1.1. КООРДИНАТНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1.1.1. Уравнения движения точки в декартовых координатах. Траектория

При координатном способе задания движения положе­ние точки в пространстве в любой момент времени t опре­деляется декартовыми координатами

х = x(t); y = y(t); z = z(t). (1)

Уравнения (1) называют уравнениями движения точки в координатной форме. При векторном способе задания движения положения точки в любой момент времени определяется ее ра­диус-вектором:

. (2)

Исключив из уравнений (1) па­раметр t, получим уравнения кривой, по которой движется точка в явном виде. Траекторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть. Для определения тра­ектории следует установить области изменения координат х, у и z по заданным уравнениям движения, считая время движения t положительной величиной. При известном уравнении кривой, по которой движется точка, траекто­рия во многих случаях может быть выделена заданием области изменения только одной координаты. При иссле­довании траекторий точек механизмов следует учитывать также конструктивные особенности данного механизма, ограничивающие его движение.

Пример 1.Движениеточки в плоскости хОу (рис.1) задано уравнениями: х = a sint, y = 2a cos 2t,где а - постоянная (а > 0). Определить траекторию точки и исследовать ее дви­жение.

Решение. Заданные уравнения движения точки являются уравнениями траектории в параметрической форме.Для получения урав­нения траектории в явном виде точка, следуетиз этих уравнений исключить параметр t.

у = 2а cos 2t = 2a (1 — 2 sin² t).

Из первого уравнения движения точки находим sin t = х/а, тогда

.

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке (0, 2а), а ветви направлены вниз. Однако не вся полученная пара­бола является траек-торией точки. Действительно, |х| ≤ а,

Рис. 1 |у| ≤ 2а, т. е. траекторией точки является часть параболы, заключенная внутри прямоугольника со сторонами 2a и 4а. Таким образом, уравнением траектории точки является

у = 2а при – а ≤ х ≤ а.

Найдем начальное положение точки. При t = 0

,

т. е. точка в начальный момент находилась в вершине параболы. При возрастании t от 0 до π/2, абсцисса х увеличивается, а ордината у уменьшается, т. е. точка движется по параболе вправо. При t = t₁ = π/2 с

.

В промежутке π/2 ≤ t ≤ 3π/2 с точка движется по параболе влево, проходя ее вершину в момент t = t₂ = π с. Начиная с момента t = t₃ = 3π/2 с, точка снова движется вправо, проходя начальное поло­жение в момент t = t₄ = 2π с, и т.д. Таким образом, точка совершает с течением времени колебательное движение вдоль параболы.

Пример 2. Зубчатое колесо Ι радиусом r (рис. 2) обкатывается внутри неподвижного зубчатого колесаIIрадиусом R = 2r с помощью кривошипа О₁О₂ угол пово­рота которого φ задан как функция времени: φ = kt (k - постоянная). Определить уравнения движения и траекторию конца А отрезка АВ длиной l, неизменно связанного с ко­лесом I и расположенного вдоль его радиуса. При t = 0 колесо I занима-ло нижнее положение (показанное на ри­сунке пунктиром) и точка В совпадала с центром колесаII.

Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент времени t. Колесо I займет при этом положение, показанное на рисунке.

Пусть С - точка колеса I, которая в начальный момент t = 0 на­ходилась в С₀ - месте зацепления колес. Из условия отсутствия сколь­жения (благодаря наличию зубцов)

или

Rφ = rγ, где γ = CO₁D.

Имея в виду, что R = 2r, получим γ = 2φ. Обозначим

Рис.2 через ψ острый угол, состав-ленный диаметром СB с вертикальной осью О₂у. По теореме о внешнем угле треугольника γ = φ + ψ = 2φ, откуда ψ = φ.

Отсюда легко заключить, что точка С в процессе всего движения перемещается вдоль оси О₂у.

Обозначим координаты точки А через х и у. Введем радиус-век­тор .Из рисунка видно, что

.

Проектируя это векторное равенство на оси, получим:

х = O₂O₁ sin φ + O₁A sin ψ = (2r + l) sin φ,

у = - O₂О₁ cos φ + O₁A cos ψ = l cos φ.

Отсюда следует, что точка В в процессе движения перемещается вдоль оси О₂х, так как у_В = у_А – l соs φ=0.

Подставляя φ = kt, получим уравнения движения точки А:

х = (2r + l) sin kt, y = l cos kt,

которые одновременно являются и уравнениями траектории точки в параметрической форме. Исключая время t, получим уравнение кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме.

Для исключения t перепишем уравнения движения в виде

х/(2r + l) = sin kt; y/l = cos kt.

Пользуясь тождеством sin² kt+cos² kt =1, получим

. (а)

Это эллипс с полуосями а =2r + l, b = l и центром в начале ко­ординат. При изменении t от 0 до ∞ абсцисса х изменяется в преде­лах –a ≤ x ≤ a, а ордината у - в пределах –b ≤ y≤ b, и, следовательно, точка в своем движении обходит весь эллипс. Таким образом, в данной задаче вся кривая, определяемая уравнением (а), является траекторией точки.

Задачи

1.1.1.* По заданным в векторной форме уравне­ниям движения точки определить ее траекторию:

1) = (2t+1) +(2-3t) ;

2) = (2+3t) +(1-2t) +(2+t) ;

3) = t² +(5-2t²) ;

4) = 3 cos + ;

5) = (2+sin ) +(l+2cos ) ;

6) = 6cos2t +t ;

7) = (3 + 2 cos 2t) + (2 -3 sin 2t) ;

8) =3 sin t³+2 cos t³ ;

9) = t +(2t - t²) ;

10) = cos 2t +sin t .

Ответы:

1) Зх + 2у = 7; z = 0 (l ≤ x ≤ );

2) (2≤ х ≤ );

3) 2 х + z = 5;y = 0(0≤ x ≤ );

4) х² + (y - l)² = 9; z = 0;

5) (х - 2)² + (z -1)²/4 = 1; y = 0;

6) y = 6 cos 2z; x = 0 (0 ≤ z ≤ );

7) ; z = 0;

8) y²/9 + z²/4 = 1; x = 0;

9) y = 2x - x²; z = 0 (0 ≤ x < );

10) x = l - 2z²; y = 0 (-l ≤ x ≤ l).

1.1.2.* По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию в плоскости хОу и начальное поло­жение:

1) x = 2sin ; y = 3cos ;

2) x =3cos t; y =3 -5sin t;

3) x = ; y = e^-t;

4) x = t³ + 2; y = 3 - t³;

5) x = 2 cos 2t; y =3 sin t;

6) x = 4 sin 2t; y =2 cos t;

7) x = 2 tg ; y = 3 sin t (t< π);

8) x = 3 tg ; у = соs t (t < π);

9) x = 3t; y = 6t - 5t²;

10) x = a(sin kt + cos kt); y = b(sin kt – cos kt);

11) x = 2sin t²; y = 3cos t²;

12) x = a + r cos ωt; y= r sin ωt.

Ответы:

1) x²/4 + y²/9 = 1. При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 3;

2) . При t = 0: x₀ = 3; y₀ = 3;

3) у = е^-х (0≤ x < ). При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 1;

4) x + y = 5 (2≤ x < ). При t = 0: x₀ = 2; y₀ = 3;

5) y² = (- 2≤ x ≤2). При t = 0: x₀ = 2; y₀ = 1;

6) x² = 4y²(4 - y²) (- 4 ≤ x≤ 4 ). При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 2;

7) y = (0 ≤ x< ). При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 0;

8) y = (0 ≤ x< ). При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 1;

9) y = 2x- x² (0 ≤ x< ). При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 0;

10) . При t = 0: x₀ = a; y₀ = - b;

11) . При t = 0: x₀ = 0; y₀ = 3;

12) (х - а)² + y² = r². При t = 0: x₀ = a + r; y₀ = 0.

1.1.3.* Точка движется по окружности радиусa r против хода часовой стрелки так, что проходимая ею дуга изменяется по закону s = kt. Найти уравнения движения точки по отношению к системе хОу с началом в центре окружности, если горизонтальная ось Ох проходит через начальное положениеточки.

Ответ: x = r cos ; у = r sin .

1.1.4.* Кулиса ОМ длиной l приво­дится вдвижение кривошипом ОА (рис. 3), вращающимся по за­кону φ = kt². Составить уравнения движения конца ку­лисы М, если O₁O = O₁A.

Ответ: x= l sin ; у = l cos .

Рис.3Рис. 4

1.1.5.* Стержень АВ длиной l дви­жется так (рис. 4), что одна из его точек описывает окружность радиусом r = l/2, а сам стержень проходит через неподвижную точку N, лежащую на той же окружности. Составить уравнения движения точки В, если φ = ωt.

Ответ: х = r cos ωt + l sin ; у = r sin ωt – l cos .

1.1.6.* В V-образном двигателе угол между осями цилиндр α =90° (рис. 5). Коленчатый вал вращается по закону φ = ωt. Составить уравнения движения пальцев В и С, если длина кривошипа. ОА = R, а длины шатунов АВ и АС равны L.

Ответ: ;

.

1.1.7.*В V-образном двигателе (рис.5) угол а между осями цилиндров равен 60°. Коленчатый вал вращается по закону φ = ωt. Составить уравнения движения пальцев В и С по направляющим, если длина кривошипа ОА равна R. А длины шатунов АВ и АС равны2R. Определить положение пальца поршня В в тот момент, когда поршень С находится в крайнем верхнем положении.

Ответ: ;

;

.

Рис.5 Рис. 6

1.1.8.*Стержень АВ длиной l поворачивается около точки В (рис.6)так, что угол φ изменяется по закону φ = ωt, а ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению s = a + b sin ωt. Определить траекторию точки А.

Ответ: (х - а)²/(b + l)²+(у²/ l²) =1 (эллипс).

1.1.9.*В механизме (рис. 7) найти уравнение движения точкиВ, если кулиса ОАВ вращается так, что угол φ = ωt, а расстояние от точки О до направляющей стержня ОО₁ = b,

длина ОА равна а. Угол OAВ – прямой.

Рис.7 Ответ: у = + b tg ωt.

1.1.2. Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

При задании движения точки в прямоугольных декар­товых координатах скорость и ускорение точки опреде­ляются по их проекциям на неподвижные оси:

; ; ; (3)

; ; ; (4)

; (5)

; (6)

; ; ; (7)

; ; . (8)

Уравнения годографа скорости в параметрическом виде:

; ; , (9)

где х₁, у₁, z₁ - текущие координаты точки, вычерчиваю­щей годограф, а оси О₁х₁, O₁y₁, O₁z₁, соответственно па­раллельны осям Ох, Оу, Оz.

Пример 3.Даны уравнения движения точки; x = t²; y = t³/3. Определить: траекторию точки, скорость точки в момент t = 1 c, годограф скорости, ускорение точки при t = 2 c.

Решение. 1. Исключаяt из уравнений движения, получим урав­нение кривой, по которой движется точка:

(полукубическая парабола). Траекторией является часть этой параболы, соответствующая x ≥ 0.

2. Находим проекции скорости точки на оси координат по фор­мулам (3)

; ,

откуда .Следовательно, v |_t=l = √5 = 2,24.

Направление скорости определяется направляющими косинусами (7):

; ;

При t =1 c

; .

Таким образом, скорость в момент t = 1 c составляет с осями Ох и Оу соответственно углы 26°34' и 63°26'.

3. Находим уравнения годографа скорости в параметричес-ком виде по формулам (9): ; .

Исключая t, получим .

Годографом скорости точки является часть этой параболы, соот­ветствующая (0 ≤ x₁< ).

4. Находим проекции ускорения точки на оси координат по фор­мулам (4):

; .

Отсюда , следовательно,

a│_t=2 = 2√5 = 4,47.

Направление ускорения определяется направляющими косинусами по формулам (8):

; .

При t = 2 получим ; .

Таким образом, вектор в моментt = 2 образует с осямиОх и Оу соответственно углы 63°26 и 26°34'.

Пример 4. Груз С поднимается по верти­кальной направляющей с помощью троса, перекинутого через неподвижный блок А (рис. 8)., отстоя­щий от направляющей на расстоянии АО = b. Определить скорость и уско­рение груза С в зависимости от расстоянияОС = х, если свободный конец троса тянут с постоянной ско­ростью и.

Решение. Из треугольника АОС .

Пусть С₀ - начальное положение груза. Обозначая АС₀= l, получим AC = l – ut,и уравнение движения груза С примет вид

Рис. 8 .

Находим проекцию скорости на ось Ох:

.

Из уравнения движения груза находим

= ,

следовательно .

Знак минус указывает на то, что точка движется в сторону умень­шения абсциссы х, т. е. вверх.

Находим проекцию ускорения точки на ось Ох:

.

Так как , то окончательно получим

.

Знак минус указывает на то, что ускорение точки направлено также вверх таким образом, движение груза ускоренное.

Задачи

1.1.10.* Два судна А и В идут взаимно перпендикулярными курсами (рис. 9) с постоянными скоростями, равными по модулю 20 узлам (узел — единица скорости, равная миле в час). Определить закон изменения расстоя­ния s между ними, если в

Рис. 9 начальный момент суда зани­мали положения А₀ и B₀, причем ОА₀ = ОВ₀ = 3 мили.

Ответ: s = √2 (3 + 20t) миль (t- в часах).

1.1.11. Дано уравнение движения точки .Определить модуль скорости точки в момент времени t = 2 с. (4,47)

1.1.12. Дан график скорости движения точки (рис.10) . Определить пройденный путь в момент времени t = 5 с. (7,5)

Рис. 10 Рис. 11

1.1.13. Дан график скорости движения точки v = f(t) (рис.11).Определить пройденный путь в мо­мент времени t = 60 с. (750)

1.1.14. Положение кривошипа (рис.12) определяется уг­лом φ = 0,5t.

Рис. 12 Определить скорость ползуна В в момент времени t = 4 с, если ОА = АВ = 1,5 м. (-1,36)

1.1.15. Даны уравнения движения точки х = t², у = sin πt, z = cos πt. Определить модуль скорости точки в момент времени t = 1 с. (3,72)

1.1.16. Скорость движения точки . Определить угол в граду­сах между вектором скорости и осью Ох в момент времени t = 4 с. (20,6)

1.1.17.Проекция скорости точки v_х = 2 cos πt. Определить координату х точки в момент времени t = 1 с, если при t₀ = 0 координата х₀ = 0. (0)

1.1.18.Дано уравнение движения точки х = sin πt. Определить скорость в ближайший после начала движения момент времени t, когда координата х = 0,5 м. (2,72)

1.1.19.Заданы уравнения движения точки . Определить координату х точки в момент времени, когда ее координата у=12 м. (1,78)

1.1.20.Задано уравнение движения точки .Определить координату у точки в момент времени, когда r = 5 м. (4)

1.1.21. Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние точки от начала координат в момент времени t=2 c. (7,21)

1.1.22.Скорость автомобиля равномерно увеличивается в течение 12 с от нуля до 60 км/ч. Определить ускорение автомобиля. (1.39)

1.1.23.Сколько секунд должен работать двигатель, который сообщает ракете ускорение 3g, чтобы скорость ракеты в прямолинейном движении возросла с 3 до 5 км/с? (68,0)

1.1.24.Самолет при посадке касается посадочной полосы с горизонтальной скоростью 180 км/ч. После пробега 1000 м самолет останавливается. Определить модуль среднего замедления самолета. (1,25)

1.1.25. Дан график ускоре-ния а = f(t) прямолинейно движущейся точки (рис. 13). Определить ско­рость точки в момент времени t = 2 с, если при t₀ = 0 скорость v₀ = 0. (2)

Рис.13 1.1.26. Дан график ускорения а = f(t) прямоли­нейно движущейся точки (рис.14). Определить скорость точки в момент времени t = 20 с, если при t₀= 0 скорость v₀= 0. (100)

Рис. 14

1.1.27. Скорость автомобиля 90 км/ч. Определить путь торможения до остановки, если среднее замедление автомобиля равно 3 м/с см, а закон изменения угла φ = 3t. (104)

1.1.28.Ускорение точки . Определить модуль ускорения в момент времени t = 2 с. (1,28)

1.1.29. Скорость точки . Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 1,5 с. (3,13)

1.1.30. Определить ускорение точки В (рис.15) в момент времени, когда угол φ = 60°, если длина ОА = АВ = 20 (-1,8)

1.1.31. Определить ускорение точки В (рис. 16) в момент времени t =5 с, если длина кривошипа ОА = 15 см, а закон изменения угла φ = 3t. (-2,19)

Рис. 15 Рис.16

1.1.32.Положение кривошипа ОА (рис.17) определяется углом φ = 2t. Определить проекцию ускоре­ния а_х точки А в момент времени t = 1 с, если длина ОА = 1 м. (1,66)

1.1.33. Положение линейки АВ (риc.

18) определяется уг­лом φ = 0,2 t.

Рис. 17 Определить в см/с² проекцию ускорения точки M на ось Оу в момент време­ни t = 3 с, если расстояние AM = 50 см. (-1,13)

1.1.34. Движение точки задано уравнениями dx/dt = 0,3t² и у = 0,2 t³. Определить ускорение в момент времени

t = 7 с. (9,39)

Рис. 18

1.1.35. Даны проекции скорости на координатные оси v_x= 3t, v_y =2 t², v_z = t³. Определить модуль ускорения в момент времени t = 1 с. (5,83)

1.2. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Из рисунка найдем

X = ON cos φ + NM sin φ = R cos φ + Rφ sin φ;

y = - ON sin φ + NM cos φ= - R sin φ - Rφ cos φ.

При сматывании троса угол φ = φ(t), следовательно, эти уравнения являются уравнениями движения точки М.

Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:

;

,

следовательно,

.

Считая, что φ = 0, s = 0 при t = 0, по формуле (14) найдем

.

Если вместо φ подставить известную функцию φ = φ(t), то

,

т. е. получим уравнение движения точки по траектории.

Пример 2. Движение точки по траектории задано уравнением (s - в метрах, t - в секундах). Определить значение дуговой координаты s в момент t = 15 с и путь σ, пройденный точкой за первые 15 с.

Решение. Определим скорость точки

.

Найдем моменты времени t₁, t_2,…, в которые скорость точки изменяет свой знак:

,

откуда t_n+1 = (-l)ⁿ +6n с (п = 0;1; 2; ...).

Следовательно, в течение первых 15 с скорость изменяет свой знак в моменты времени: t₁= l с, t₂ = 5 с, t₃ = 13 с.

Определим значения дуговой координаты s вэти моменты вре­мени, а также в момент

t₀ = 0 и в момент t₄ = 15 с:

s₀ = 12 м;

м;

м;

м;

м.

Пользуясь формулой (15), найдем путь, пройденный точкой за первые 15 с:

П = |π+6√З-l2| + |5π-6√3-π-6√3| + |13π+6√3-5π+6√3 | +

+|15π-13π-6√3| = 59,7 м.

Пример 3. Определить уравнение движения точки по траектории, если даны ее уравнения движения в декар­товых координатах:

х = а (2 cos t + cos 2t), y = a(2sin t—sin 2t), 0 ≤ t ≤ .

Дуговую координату отсчитывать от начального по­ложения точки в сторону первоначального движения.

Решение. Заданные уравнения представляют собой параметриче­ские уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описывает точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности радиусом 3а, причем t равно углу поворота линии центров от ее начального по­ложения.

Для определения s найдем v(t):

= - 2а (sin t + sin 2t),

= 2a (cos t - cos 2t),

отсюда .

Заметим, что величина v(t) всегда положительна, так как точка не меняет направления своего движения. Это следует из вышеука­занной интерпретации движения. Аналитически в этом можно убе­диться, если рассмотреть изменение угла φ, образованного радиус-вектором точки с осью абсцисс:

tg φ = x/y; φ = arc tg x/y,

отсюда

Знаменатель и числитель всегда положительны, так как

.

Таким образом, точка всегда движется в одном направлении (φ растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который совпадает с ее первоначальным знаком:

.

Для s(t) получим

.

Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функциях (для произвольного t). Вычислим его по участкам.

При

,

тогда s(t)= .

В частности, при t = 2π/3

s = (2π/3) = 16a/3.

Применять эту формулу при больших t нельзя. Например, при t = 4π/3 она привела бы к нелепому результату s = 0. При , .

Тогда

.

Задачи

1.2.1.* Определить уравнение движения точки по траектории, а также значение дуговой координаты s и пройденный путь σ к моменту t = 5с, если ее скорость v задана уравнением:

1) v =10 см/с;

2) v = 2 см/с (0 ≤ t ≤ 3);

v = (5 - t) см/с(3 ≤ t ≤ 5);

3) v = (2t+1) см/с;

4) v = (3 - t) см/с;

5) v = см/с;

6) см/с;

7) см/с;

8) v = (t² - 3t + 2) см/с.

Ответы:

1) s = 10t см; s|_t=5c = 50 см; σ|_t=5c = 50 см;

2) s = 2t см (0 ≤ t ≤ 3); s = (5t - - 4,5) см (3 ≤ t ≤ 5);

s|_t=5c = 8 см; σ|_{t=5 c}= 8 см;

3) s = (t² + t) см; s|_t=5c = 30 см; σ|_t=5c = 30 см;

4) s =(3t - ) см; s|_t=5c = 2,5 см; σ|_t=5c = 6,5 см;

5) s = (1- cos ) см; s|_t=5c = см; σ|_t=5c = 2 см;

6) s = (3t + sin ) см; s|_t=5c = 15 см; σ|_t=5c = 15см;

7) s = (πt +5 sin ) см; s|_t=5c = 5π см;

σ|_t=5c = см;

8) s = см; s|_t=5c = см; σ|_t=5c = см.

1.2.2.*Определить уравнение движения точкипотраектории, если даны уравнения ее движения в декарто­вых координатах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения:

1) x = Зt² + 5; y = 4t² + 3;

2) x = 1 – t; y = t - 1;

3) x = 2sin 2t; y = 2cos 2t;

4) x = a+r cos ωt; y = r sin ωt;

5 ) х = 3cos t²; y = 3sin t²;

6) ; z = e^t;

7) x = 4a cos²ωt; y = За sin²ωt;

8) x = acos³t; y = a sin³t;

9) x = a(t - sin t ); y = a(l - cos t);

10) x = a cos t; у = a sint; z = ct.

Ответы: 1) s = 5t²;

2) s =

3) s = 4t;

4) s = rωt;

5) s = 3t²;

6) s = √3(e^t—l);

7) s = 5a sin²ωt;

8) s = sin²t [ (см. пример 3)];

9) s = 4a(l-cos ) [ (см. пример 3)];

10) .

1.2.3.* Колесо радиусом R катится без скольже­ния по горизонтальному рельсу со скоростью центра . Определить уравнение движения по траектории точки обода колеса, находившейся в начальный момент в точке каса­ния с рельсом. Какое расстояние s_i будет пройдено точ­кой по траектории от начала движения до наивысшего положения?

Ответ: s = 8R sin² ; s_i = 4R. Выражение для s справедливо только до момента t = , при котором s = 8R. После него нужно вычис­лять s так же, как в примере 3.

1.2.4. Точка движется по траектории согласно уравнению s = 15 + 4 sin πt. Указать ближайший после начала движения момент вре­мени t₁, при котором s₁=17 м. (0.167)

1.2.5. Точка движется по траектории согласно уравнению s = 0,5t² + 4t. Определить, в какой момент времени скорость точки дос­тигнет 10 м/с. (6)

1.2.6. Точка движется по заданной траектории со скоростью v = 5 м/с. Определить криволинейную координату s точки в момент времени t = 18 с, если при

t₀ = 0 координата s₀ = 26 м. (116)

1.2.7. Точка движется по кривой со скоростью v = 0,5 t. Определить ее координату в момент времени t = 10 с, если при t₀ = 0 координатa точки s₀ = 0. (25)

При этом

, (17)

Где

, (18)

. (19)

a_τ - проекция ускорения на , a - алгебраическая

скорость точки;

a_n - модуль нормального ускорения точки;

-единичные векторы главной нормали и касательной.

Если точка движется равномерно, то

v = const; a_τ = 0; s = s₀ + vt. (20)

При равнопеременном движении a_τ = const. В этом случае

, (21)

s = s₀ + v₀ t + , (22)

а также

s = s₀ + , (23)

s = s₀ + . (24)

Пример 4. При прямолинейном движении судна его скорость в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Расстояние между пунктами A и В равно 2 милям. Считая в первом приближении движение судна равноускоренным, определить время t движения судна на данном расстоянии, а также модуль его ускорения (узел - 1 единица скорости, равная миле в час, или 0,5144 м/с).

Решение. Если взять начало отсчета в начальном