Переходные процессы. Определение постоянных интегрирования

Как известно, постоянные интегрирования определяются из начальных условий, каковыми являются значения искомой функции и ее производных по (n – 1)-ую включительно в начальный момент времени 0⁺ («справа»). В отличие от чисто математических задач, где эти условия задаются в качестве исходных данных непосредственно, при анализе переходных процессов задаются начальные условия «слева» в момент t = 0^–, предшествующий коммутации (чаще всего они формулируются самой постановкой задачи и легко определяются из расчета докоммутационного режима). Нахождение начальных условий «справа» по известным значениям начальных условий «слева» – ключевой момент в расчете переходных процессов.

Опишем процедуру отыскания начальных условий в цепи n-го порядка

· для послекоммутационной схемы ( ) составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа, дополняют эту систему компонентными уравнениями типа для емкости; для индуктивности;

· рассматривают эту систему уравнений в момент t = 0⁺ с учетом независимых начальных условий, которые по правилам коммутации берутся равными начальным условиям «слева», в результате определяются зависимые начальные условия, в том числе значения первых производных от индуктивных токов и емкостных напряжений;

· для отыскания значений первых производных от зависимых электрических величин и вторых производных от независимых электрических величин необходимо систему уравнений из п. 1 продифференцировать и рассмотреть ее в момент t = 0⁺ с учетом информации, полученной в п. 2;

· процедура дифференцирования продолжается до тех пор, пока не будет найдена (n – 1)-ая производная искомой функции в 0⁺.

Система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет следующий вид:

(4.9)

Здесь для определенности полагаем все корни p_k вещественными разными числами. Кроме того, следует учитывать, что при наличии в цепи только источников постоянных воздействий значение производных от принужденной составляющей переходного процесса равны нулю.

Возможная схемная реализация этой технологии подробно описана в [] и позже будет пояснена на конкретном примере.

17. Переходные процессы. Разряд заряженной ёмкости через сопротивлениеR

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.5:

.

2. Составим дифференциальное уравнение цепи:

;

.

Характеристическое уравнение первого порядка:

,корень которого .

3. Полное решение дифференциального уравнения:

.

Поскольку уравнение имеет первый порядок, свободная составляющая имеет одну экспоненту .

4. Определим принужденную составляющую .

5. Для определения постоянной интегрирования A запишем полное решение для момента t = 0⁺

^.

Применив правило коммутации, получим окончательное решение

.

Ток в цепи определяется с помощью дифференциального закона Ома

,

, .

Итак, имеем две экспоненты, описывающие изменения и . Графики изменения и представлены на рис. 4.6. Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U₀. Знак «минус» в выражении для тока говорит о том, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при его заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи. Ток на ёмкости меняется скачком.

Введём величину, характеризующую скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называемую постоянная времени (t).

Величина показывает, за какой промежуток времени свободная составляющая переходного процесса уменьшается в раз.

Чем больше , тем медленнее переходный процесс, тем больше . Хотя полученные выше выражения определяют бесконечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю – практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное .

Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведённой в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 4.7).

Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения . (4.10)

Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.

Энергия электрического поля конденсатора до коммутации – , в результате полного разряда при .

Покажем, что вся энергия, запасенная в конденсаторе, выделяется в виде тепловой энергии на резисторе R:

18. Переходные процессы. ПодключениеR -цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.8

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

, ,

.

Характеристическое уравнение цепи

,

корень которого

.

Постоянная времени .

3. Запишем полное решение .

Здесь свободная составляющая также включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.

4. Подставив в полное решение t = 0⁺, определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации .

Таким образом, окончательный результат имеет вид

.

Ток в цепи

.

Графики изменения и представлены на рис. 4.9. Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значение , и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, что ведет к соответственному уменьшению тока в цепи.

19. Переходные процессы. Подключение R -цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.10

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

,

характеристическое уравнение

.

Корень характеристического уравнения и постоянная времени соответственно

, .

3. Полное решение имеет вид:

.

4. Подставив в i_L(t) t = 0⁺ на основании правила коммутации определим постоянную интегрирования

.

Таким образом,

.

Напряжение на индуктивности

. Графики изменения u_L(t), i_L(t) приведены на рис. 4.11.

4.2.5.4. Подключение RC-цепи к источнику гармонического напряжения

Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 4.12) действует источник синусоидальной ЭДС

.

Здесь – фаза включения, т.к. она определяется моментом срабатывания коммутатора. Интуитивно следует ожидать влияние на качественную и количественную картину протекания переходного процесса.

Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.

1. Запишем правило коммутации

.

2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение:

.

Корень характеристического уравнения

.

3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка

.

4. Расчет принужденной составляющей произведем символическим методом

;

;

;

.

5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0⁺

;

.

В соответствии с правилом коммутации

;

Таким образом,

или

.

Определим

;

Оба выражения для u_C и i_C в общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включения и соотношения параметров цепи и R.

Исследуем ожидаемое влияние фазы включения источника на переходный режим

1) Пусть , тогда . Поскольку cos 0 = 1, получим

.

а) исследование кривой напряжения (рис. 4.13) наглядно демонстрирует, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено .

б) исследование кривой тока (рис. 4.14).

Максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения и R и может превышать I_mпр в несколько раз. Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.

2) В случае, если , поскольку , получим

Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не н