Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины.

(424) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

F(x,y)= Ce^{-xx-2xy-4y y}

Найти: а) постоянный множитель С, б) плотность распределения составляющих, в) условные плотности распределения составляющих.

Закон распределения двумерной непрерывной случайной величины. Плотность и функция распределения.

(411) Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=1, x=2, y=3, y=5, если известна функция распределения:

F(x,y) = 1 - 2^-x - 2^-y + 2^-x-y x≥0, y≥0

0, x<0, y<0

(413) Задана функция распределения двумерной случайной величины:

F(x,y) = 1 - 2^-x - 2^-y + 2^-x-y x≥0, y≥0

0, x<0, y<0

Найти плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

(283) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = cos x в интервале 0<x<p/2, вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y=X² .

(287) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (-3/4) x² +6x - (45/4) в интервале 3<x<5, вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, моду и медиану X.

(293) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 1/(π(9 - x²)^1/2 в интервале -3<x<3, вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

(297) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения:

F(x,y) = 0, x≤-2,

x/4 +1/2, -2<x≤2,

1, x>2.

Функция распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин.

(263) Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

F(x) = 0, x≤ 0,

sin 2x, 0 <x≤ π/4,

1, x> π/4

Найти плотность распределения f(x).

(268) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

f(x) = 0, x≤ 0,

sin x, 0 <x≤ π/2,

0, x> π/2

Найти функцию распределения F(x).

(269) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

f(x) = 0, x≤ 1,

x – 1/2, 1 <x≤ 2,

0, x> 2

Найти функцию распределения F(x).

Нормальный закон распределения.

(324) Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью

f(x) =1/(5√2p)e^{-(x-1)^2/50}. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

(329) Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15, 20).

(332) Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Равномерное распределение.

(308) Цена деления шкалы амперметра - 0.1А. Показания амперметра округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02А.

(310) Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

(316) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Предельные теоремы. Закон больших чисел.

(244) Вероятность появления события в каждом испытании равна ¼. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

(245) Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	0.3	0.6
p	0.2	0.8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что ½X-M(X)½< 0.2.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

(188) Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X	-4
p	0.2	0.3	0.5

(189) Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Z=X+2Y, если известны математические ожидания X и Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

(208) Дискретные случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

(211) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

X	4.3	5.1	10.6
p	0.2	0.3	0.5

Эксперимент Бернулли.

(111) Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? Ничьи во внимание не прнимаются.

Формула Байеса.

(101) В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения заболевания К равна 0,7, заболевания L – 0,8, заболевания M – 0,9. Больной , поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

(102) Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому – 0,55, ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом – 0,9, вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.

Полная вероятность.

(91) В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата – 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

(93) В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе №2, 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №1, отличного качества, равна 0,9, для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3 – 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.