Характеристики погрешностей измерений известны

a) Измерения однократные. Постановка задачи полиномиальной аппроксимации некоторой исследуемой функции y = f(x)и метод ее решения изложены в разд. 2.3.7.1, 2.3.7.2. В соответствии с материалами этих разделов исходными данными для полиномиальной аппроксимации функции y = f(x)являются ее значения в k дискретных точках, возмущенные погрешностями. Эти значения были объединены в вектор . С другой стороны, вектор точных значений аппроксимируемой функции выражался, как , где – вектор точных значений коэффициентов искомого полинома. Степень искомого полинома q полагалась известной, а погрешности – распределенными нормально: . Тогда вектор отсчетов также распределен нормально: , то есть . Эта ситуация именовалась как случай известной модели.

В разд. 2.3.7.2 были получены ММП-оценки коэффициентов путем минимизации квадратичных форм

– для равноточных измерений и применения МНК;

– для неравноточных измерений и применения ОМНК.

Из-за случайности погрешностей измерений оценки также случайны, а значит, случайными являются векторы и вслед за ними – квадратичные формы, которые определены в разд. 2.3.7.2:

– при применении МНК;

– при применении ОМНК.

Поскольку найденные оценки коэффициентов несмещены,

.

В разд. 2.3.7.3 приведены плотности распределения этих квадратичных форм в условиях, когда плотности распределения погрешностей нормальны и модель известна. Плотности распределения обеих квадратичных форм одинаковы: это плотность распределения хи-квадрат с k – q – 1 степенями свободы, то есть

.

На практике модель практически никогда не бывает известной. Тогда при ошибочном назначении степени p аппроксимирующего полинома, меньшей, чем истинная степеньq, оценки коэффициентов оказываются смещенными (см. также п. 2.3.7.4, замечание 4), поэтому , значения существенно возрастают, и плотность распределения изменяется. При увеличении степени аппроксимирующего полинома и в особенности при p > q ухудшается обусловленность матриц и , и теряется вычислительная устойчивость МНК и ОМНК (см. разд. 2.3.7.7). Поэтому случаи, когда p > q,не рассматриваются.

Итак, пусть в изложенных условиях при истинной степени аппроксимирующего полинома qбыла назначена степень p < q, и с помощью МНК или ОМНК получены оценки p + 1 коэффициента. Обозначим вектор найденных таким образом оценок , а квадратичные формы, вычисленные при этих значениях оценок – .

Сформулируем гипотезу.

степень аппроксимирующего полинома p = q;

степень аппроксимирующего полинома p < q.

Статистикой критерия проверки этой гипотезы является величина , которая при p = q, то есть при справедливости нулевой гипотезы, равна и распределена как (см. разд. 2.3.7.3). Поэтому в качестве критического значения при заданной вероятности a выбирается (1 - a)100-процентная квантиль из таблицы квантилей распределения хи-квадрат с (k - q - 1) степенями свободы.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность a.

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия

или .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением:

если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае, если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

b) Измерения многократные.

Этот случай отличается от предыдущего тем, что в качестве исходных данных для полиномиальной аппроксимации используется не вектор результатов однократных измерений , а вектор средних арифметических значений результатов многократных измерений. В условиях, перечисленных ранее для однократных измерений, вектор средних арифметических значений обладает свойствами (см. также разд. 2.3.4.3, 2.3.7.5) :

, , .

При равноточных измерениях, когда применяется МНК,

,

где E – единичная матрица (см. также разд. 2.3.7.2) .

Если для аппроксимации назначена степень полинома p и - вектор оценок (p + 1) коэффициента этого полинома, то статистикой критерия проверки гипотезы о степени полинома будет

.

Когда измерения равноточные и применяется МНК,

.

Как и ранее, при условии справедливости нулевой гипотезы, то есть при p = q, и Критическое значение при заданном значении вероятности a есть .

Гипотеза формулируется по аналогии с формулировкой, приведенной для однократных измерений.

степень аппроксимирующего полинома p = q,

степень аппроксимирующего полинома p < q.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность a.

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия

или .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением:

если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае, если , делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Заметим, что в соответствии с центральной предельной теоремой плотность распределения средних арифметических асимптотически нормальна. Поэтому, начиная с n = 15–20, требования к нормальности погрешностей измерений могут быть значительно смягчены.

2.5.6.3. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений неизвестны

Если характеристики погрешностей измерения значений аппроксимируемой функции неизвестны, то неизбежно приходится выполнять многократные измерения и по результатам этих измерений оценивать характеристики погрешностей: дисперсии или ковариационную матрицу . Выполнение эксперимента в этой ситуации и вычисление оценок производится в соответствии с указаниями разд. 2.3.4.3, 2.3.4.4, 2.3.7.6. Для выяснения равноточности или неравноточности выполненных измерений проверяется гипотеза о равенстве дисперсий по критерию Кочрена (см. разд. 2.5.6.1) и принимается решение о применении МНК или ОМНК. При вынужденном пренебрежении коррелированностью между измерениями по причинам, отмеченным в разд. 2.3.4.7, матрица оказывается диагональной (см. разд. 2.3.7.6), и это обстоятельство несколько снижает эффективность оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома, но оценки коэффициентов остаются несмещенными, если, конечно, назначенная степень полинома p равна истинной степени q.

Здесь, как и ранее в разд. 2.5.6.2, “б”), в качестве исходных данных для полиномиальной аппроксимации используется не вектор результатов однократных измерений , а вектор средних арифметических значений результатов многократных измерений. С учетом замены матрицы ее оценкой (см. разд. 2.5.6.2, б)

, , .

Если по результатам проверки гипотезы о равенстве дисперсий по критерию Кочрена принято решение о применении МНК, то

, ,

где E – единичная матрица, – оценка дисперсии равноточных измерений, которая вычисляется, как среднее арифметическое значение оценок дисперсий найденных при каждом значении , как указано в разд. 2.3.7.6:

.

Если для аппроксимации назначена степень полинома p, и – вектор оценок p - 1 коэффициента этого полинома, и по результатам проверки гипотезы о равенстве дисперсий принято решение о применении МНК, статистикой критерия проверки гипотезы о степени полинома будет

,

где ;

в противном случае, при применении ОМНК,

,

где .

При условии справедливости нулевой гипотезы, то есть при p = q, как указано выше в разд. 2.3.7.6, статистика в обоих случаях распределена по закону распределения Фишера (см. [5], стр. 485):

при применении МНК с количеством степеней свободы (k - p - 1) и (n - 1);

при применении ОМНК с количеством степеней свободы (k - p - 1) и (n - k + p + 1).

Гипотеза о степени полинома формулируется по аналогии с формулировкой, приведенной в разд. 2.5.6.2 :

степень аппроксимирующего полинома p = q,

степень аппроксимирующего полинома p < q.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы в условиях, когда заданы вид полинома (степенной, обобщенный по разд. 2.3.7.9) и вероятность a,а также вычислены оценки и или и .

1. Оценивают коэффициенты полинома

или .

2. Вычисляют статистику критерия

в случае МНК ;

в случае ОМНК .

3. Значение статистики сравнивают с критическим значением распределения Фишера:

при МНК, если ;

при ОМНК, если ;

делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу;

в противном случае делают вывод о том, что нет достаточных оснований для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Критические значения плотности распределения Фишера приведены в таблицах математической статистики (см. [13, 14] и др.)