Расчет усилий в трехшарнирной арке

Трехшарнирная арка – система, состоящая из двух криволинейных балок, соединенных между собой и с фундаментом шарнирами.

Одной из отличительных особенностей арок является наличие горизонтальных реакций в опорах при действии только вертикальной нагрузки. При расчете реакций в таких системах составляется два уравнения моментов относительно опор арки и два – относительно ключевого шарнира, с помощью которого соединяются две криволинейные балки, являющиеся частями арки. При составлении уравнений относительно ключевого шарнира рассматриваются отдельно левая и правая части рама, разделенные ключевым шарниром. Проверкой правильности нахождения реакций служат уравнения равновесия – сумма проекций всех сил на оси X и Y.

Координаты оси арки f=y(x), угол наклона касательной к оси арки tgφ, а также cosφ иsinφ могут быть определены по следующим формулам:

Трехшарнирная арка

- ось арки – квадратичная парабола:

где L – расстояние между опорами арки (расстояние до ключевого шарнира равноL/2);

x – расстояние от опоры А до заданной точки.

- ось арки – окружность:

Внутренние силовые факторы M, Q, N в произвольном сечении kтрехшарнирной арки определяются по формулам:

- изгибающий момент:

- поперечная сила:

- продольная сила:

– изгибающий момент и поперечная сила в заменяющей арку балке (горизонтальная балка лежит на опорах арки, все точки с арки проецируются на балку) в сечении k и точке С.

Построение линий влияния усилий (статический метод)

Линии влияния внутренних усилий можно построить на базе формул для определения внутренних усилий для эквивалентной арке балке.

Схема для построения линий влияния

Ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении k М_k рассчитываются по формуле:

Из этой формулы следует, что ординаты линии влияния M_k рассчитываются как сумма ординат двух линий влияния: линии влияния изгибающего момента для простой двухопорной балки и линии влияния горизонтальной реакции в опоре, все ординаты которой умножены на (-y_k).

Ординаты линии влияния поперечной силы Q_k рассчитываются по формуле:

Из этой формулы следует, что ординаты линии влияния Qk рассчитываются как сумма ординат двух линий влияния: линии влияния поперечной силы для простой двухопорной балки, все ординаты которой умножены на (cosφ_k), и линии влияния горизонтальной реакции в опоре, все ординаты которой умножены на (-sinφ_k).

Ординаты линии влияния продольной силы N_k рассчитываются по формуле:

Из этой формулы следует, что ординаты линии влияния N_k рассчитываются как сумма ординат двух линий влияния: линии влияния поперечной силы для простой двухопорной балки, все ординаты которой умножены на (-sinφ_k), и линии влияния горизонтальной реакции в опоре, все ординаты которой умножены на (-cosφ_k).

Пример задачи с решением.

С. Задача 1

Определить внутренние усилия в сечении k.

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 1

Построить линии влияния внутренних усилий для трехшарнирной арки графическим методом.

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Определяем внутренние усилия в сечении k для арки с затяжкой.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача 3

Необходимо построить линии влияния для трехшарнирной арки статическим методом.

Линии влияния внутренних усилий для трехшарнирной арки

1) Определяем требуемые геометрические параметры с учетом того, что ось арки –квадратичная парабола:

2) Определяем реакции в опорах:

3) Определяем H

- сила Р находится слева С

x=0…10

- сила Р находится справа С

x=10…20

4) Определяем M_k⁰

- сила Р находится слева k

x=0…6

- сила Р находится справа k

x=6…20

5) Определяем в характерных точках M_k

x=0, 6

x=6, 10

x=10, 20

6) Определяем Q_k⁰

- сила Р находится слева k

x=0…6

- сила Р находится справа k

x=6…20

7) Определяем в характерных точках Q_k

x=0, 6

x=6, 10

x=10, 20

8) Определяем в характерных точках N_k

x=0, 6

x=6, 10

x=10, 20

Проведенные выше построения линий влияния в этой задаче можно было выполнить и несколько иначе. Например, приведем алгоритм построения линии влияния изгибающего момента M_k.

Вначале для эквивалентной арке балки строится описанным выше способом линия влияния M_k⁰. Затем строится линия влияния M_C⁰. Ординаты линии влияния M_C⁰ умножаются на величину (1/f), в результате чего получаем линию влияния распора H. Ординаты линии влияния распора H умножаются на величину (–y_k). В итоге складываем ординаты построенных графиков M_k⁰ и H∙(–y_k) и получаем линию влияния M_k.

Аналогичным образом далее строятся линии влияния Q_k и N_k.

Построение линий влияния усилий (графический метод)

Определим точки на оси арки, при нахождении в которых силы P=1, линия влияния искомого внутреннего усилия пересекает нейтральную ось, т.е. ее ордината равна нулю.

К таким точкам относятся, в частности, опоры арки, кроме них есть и другие точки, все они называются нулевыми.

При нахождении силы Р=1 в точке m_c арки изгибающий момент в сечении k равен нулю, т.к. равнодействующая левых сил (опорная реакция А) проходит через сечение k и соответственно плечо из сечения на эту силу равно нулю. Таким образом, точка m_cопределяет положение нулевой точки для изгибающего момента в сечении k. При этом положение силы Р=1 определяется пересечением реакций опоры В (линия bc) и А (линияak).

Нулевая точка линии влияния изгибающего момента для арки

Определим абсциссу нулевой точки:

Для нахождения абсциссы нулевой точки для поперечной силы Q_k из левой опоры а проводится прямая, параллельную касательной s-s к криволинейной оси арки в сечении k, до пересечения в точке qс направлением bc. Если силу Р=1 приложить в точке q_c, лежащей на арке под точкой q, то Q_k становится равной нулю, поскольку слева от сечения при этом действует только опорная реакция А, параллельная касательной s-s.

Нулевая точка линии влияния поперечной силы для арки

Определим абсциссу нулевой точки:

Линия влияния продольной силы в сечении k имеет ординату равную нулю равна нулю при нахождении силы Р=1 на консоли к арке в точке n_c, лежащей на одной вертикальной прямой с точкой n, которая расположена на пересечении прямой, проведенной из опоры а и перпендикулярной касательной s-s, с прямой bc.

Нулевая точка линии влияния продольной силы для арки

Определим абсциссу нулевой точки:

Метод построения линий влияния способом нулевой точкизаключается в том, что на нейтральной оси вначале откладывается положение нулевой точки для рассматриваемого внутреннего усилия.

Примеры задач с решениями.

С. Задача 1

Построить линии влияния внутренних усилий для трехшарнирной арки графическим методом.

Линии влияния для трехшарнирной арки

1) Определяем требуемые геометрические параметры с учетом того, что ось арки –квадратичная парабола:

2) Нулевые точки:

- линия влияния М_к:

- линия влияния Q_к:

- линия влияния N_к:

3) Из подобия треугольников определяем недостающие размеры:

- линия влияния М_к:

- линия влияния Q_к:

- линия влияния N_к:

С. Задача 2

Построить линии влияния внутренних усилий для трехшарнирной арки графическим методом.

1) Геометрические параметры аналогичны как в задаче №1.

Линии влияния для трехшарнирной арки

2) Нулевые точки:

- линия влияния М_к:

- линия влияния Q_к:

- линия влияния N_к: