Контрольные задачи к главе 1 «Случайные события»

1.1. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?

1.2. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

1.3. Какова вероятность вытащить два разноцветных шара, если в ящике 8 белых и 12черных шаров?

1.4. У первого акционера имеется 9 акций вида А и 12 акций вида В. У второго, соответственно, 5 и 9. В результате операции купли/продажи 7 акций первого перешли ко второму держателю акций. Найти вероятность того, что случайно выбранная акция второго акционера окажется вида А.

1.5. Устройство состоит из 12 независимых блоков, помеченных Б1, Б2, …, Б12. Вероятность того, что неисправность может произойти в одном из блоков Б1, Б2, Б3, Б4 составляет 0,6. При поиске появившейся неисправности обследованы блоки Б1, Б2, Б3, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность того, что неисправность будет обнаружена в блоке Б4?

1.6. Определить вероятность того, что трехзначный номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр и цифры шесть.

1.7. Из чисел 1, 2, 3, …, 15 одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым числом будет не меньше числа 3?

1.8. Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределенной по всей длине стержня. Найти вероятность того, что меньший обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня.

1.9. Для повышения надежности прибора он дублируется тремя такими же приборами. Надежность каждого прибора равна 0,6. Найти надежность системы. Сколько надо взять приборов, чтобы надежность системы стала 98%?

1.10. Из колоды в 32 карты берутся 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

1.11. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 30,7% имеют первую, 39,5% – вторую, 21,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

1.12. Какова вероятность того, что при игре в преферанс (32 карты раздаются трем игрокам) в прикупе окажутся два туза?

1.13. Четыре поздравительные открытки случайно разложены по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

1.14. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 4.

1.15.Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

1.16. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.18. Два игрока по очереди бросают игральную кость. Каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

1.19. В коробке 5 одинаковых изделий, 3 из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие.

1.20. Среди 10 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

1.21. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41–го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима одному.

1.22.Вероятность того, что монета диаметром d не пересечет ни одну сторону квадратной сетки равна р. Определить размер сетки.

1.23. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля составляет два часа, а второго – три часа.

1.24. На обслуживающее устройство в промежуток времени [0, 12] должны поступить 2 заявки. Если разность между моментами поступления заявок меньше 2, то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

1.25. Найти вероятность того, что сумма двух случайных чисел из отрезка [– 1, 2] больше единицы, а их произведение меньше единицы.

1.26. На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы шириной а, бросается наугад игла длины l (l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую–нибудь прямую.

1.27. На плоскости отрезок длиной 10 см закреплен в одним концом и вращается вокруг точки закрепления так, что все направления отрезка равновероятны. Найти среднюю проекцию отрезка на заданную ось.

1.28. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой–либо договор, равна 0.4. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9, можно было утверждать, что будет заключен договор?

1.29. Стрельба заканчивается после третьего попадания по мишени. Найти вероятность того, что при этом будет 5 промахов, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

1.30. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

1.31. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

1.32. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

1.33. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1–го автомата вдвое больше производительности 2–го. 1–й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2–й – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена 1–м автоматом.

1.34. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? Ничьи не рассматриваются.

1.35. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Начти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

1.36. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукци­ей первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется 6 аппаратов первого сор­та, если партия содержит 10 аппаратов?

1.37. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями соответственно Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок.

1.38. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за время t равна 0.95, если из деталей обычного качества – его надежность 0.7. Прибор испытывали в течение времени t и он отработал безотказно. Какова вероятность того, что он был собран из высококачественных деталей?

1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке трех ладей на шахматной доске они не будут угрожать друг другу.

1.40. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы одно из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6.

1.41. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы.

1.42. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

1.43. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день.

1.44. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы 0,2, для второй 0,3, для третьей 0,4. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что это была первая касса?

1.45. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что деталь взята из второй партии.

1.46. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Проводится испытание прибора в трех независимых опытах. Вероятность отказа прибора при одной опасной перегрузке равна 0,2; при двух перегруз как равна 0,5; при трех перегрузках равна 0,8. Определить вероятность отказа прибора в испытании.

1.47. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка M(a; b). Найти вероятность того, что корни уравнения x² + ax + b = 0 будут действительными.

1.48. Станок–автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0,93. Найти вероят–ность того, что не будет выпущено ни одной нестандартной детали: а) за две смены; б) за три смены.

1.49. На факультете обучаются 650 студентов. Найти вероятность того, что ровно 4 студента имеют день рождения 1 апреля.

1.50. Вероятность наступления события в каждом опыте равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Найти вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

1.51. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две точки окажутся внутри квадрата?

1.52. Имеются две партии изделий по 15 и 10 штук, причем в каждой партии есть одно бракованное изделие. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

1.53. В ящике содержится 16 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2, 24 деталей завода № 3. Вероятность того, что детали завода № 1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов № 2 и № 3 она соответственно равна 0,65 и 0,92. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

1.54. Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникают сбои в процес–соре, оперативной памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в процессоре, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,84, 0,78 и 0,93. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

1.55.На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый выпускает 22%, второй – 30%, третий – 48% деталей данного типа. Первый автомат дает 0,26% брака, второй – 0,13%, третий – 0,18%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали.

1.56. Шар помещен внутри эллипсоида . Найти вероятность того, что брошенная наудачу внутрь эллипсоида точка окажется внутри шара.

1.57.Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на дополнительный вопрос из другого билета.

1.58.Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента А₁ или двух элементов А₂ и А₃, которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,35, 0,24 и 0,12. Найти вероятность разрыва электрической цепи.

1.59.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

1.60.Из последовательности чисел 1,2,3,…,10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 6, а другое больше 7?

1.61. Прибор может работать в 2 режимах: нормальном и в ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 85% случаев, ненормальный – в 15% случаев. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

Глава 2. Случайные величины.

Пример 2.1. Вероятность того, что произвольный посетитель страховой компании заключит с ней какой–либо договор, равна 0,4. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со страховой компанией.

Решение. Возможные значения СВ (число клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со страховой компанией): 0, 1, 2, 3.

Используя формулу Бернулли (из теории вероятностей), вычислим вероятности различного числа клиентов (из трех), заключивших договор со страховой компанией:

.

Ряд распределения СВ (число клиентов, заключивших договор со страховой компанией) имеет вид:

Значение СВ
Вероятность	0,216	0,432	0,288	0,064

Вычислим числовые характеристики величины Х.

Пример 2.2. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью.

х

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическоe отклонение, асимметрию, эксцесс величины Х.

Решение. Определим коэффициент а.

Для этого воспользуемся свойством плотности распределения ; отсюда а = 0,5.

Так как функция нечетная, то математическое ожидание величины Х равно нулю:

.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение, соответственно, равны:

.

Так как распределение симметрично, то A_s = 0.

Для вычисления эксцесса находим .

Отсюда .

Пример 2.3.Вероятность наступления события А в одном опыте равна p. За каждую удачную серию из n опытов, в которых происходит событие А, игрок получает y ⁿ рублей; если же n = 0, то он платит 1 руб. Найти величину y так, чтобы игра была безобидной (математическое ожидание проигрыша равнялось бы нулю).

Решение.Пусть X – выигрыш. Возможные значения величины X в серии: – 1, y, y ², …, y ⁿ…

Тогда М_x = – 1(1 – р) + yЧp(1 – p) + ... + pⁿЧyⁿ(1 – p) + … =

= (1 – p)( –2+1/(1–ру)) = (1 – p)(2ру – 1)/(1 – ру) = 0.

Следовательно, у = 1/(2р).

Пример 2.4.Вероятность приема сигнала одной радиостанции другой радиостанцией равна 0.2 при каждой попытке. Позывные сигналы подаются каждые 5 секунд до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16 секунд. Найти среднее число подаваемых сигналов до установления двусторонней связи.

Решение.Вероятность того, что ответный сигнал будет получен на первый позывной равна , на второй – , на третий – …, на –й позывной сигнал – .

Вероятность означает, что первые позывных сигналов приемной радиостанцией не приняты, а принят –й позывной сигнал и получен ответный сигнал.

В этом случае средний номер подаваемого сигнала до установления связи будет равен величине

.

С учетом задержки в 3 сигнала среднее число подаваемых сигналов до установления двусторонней связи будет равно

Найдем сумму этого ряда.

Воспользовавшись формулой суммы членов геометрической прогрессии, имеем: ,

продифференцировав его, получим .

Отсюда для случая получаем