Законы пересечения и объединения множеств

1. Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.

Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:

Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: АÇ B = B Ç A и A È B = B È A.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.

Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С), ( A È B ) È С = A È ( B È С).

Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)

Рис. 3

3. Закон пересечения множеств: ( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С)

В выражении ( А Ç B ) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество ( А Ç B ) Ç С.

Представим теперь наглядно множество A Ç ( ВÇ С).(См. рис.4) В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С – на рисунке оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество A Ç ( ВÇ С). Видим, что области, представляющие на рисунке множества ( А Ç B ) Ç СиA Ç ( В Ç С ), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Рис. 4.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.

Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:

1) можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;

2) на основании этого свойства в выражениях ( А Ç B ) Ç С, A Ç ( ВÇ С),( A È B ) È С , A È ( B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись.

Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство ( A È B ) È С = A È ( B È С).

Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества ( A È B ) È С содержится в множестве A È ( B È С), и наоборот.

1. Пусть х – любой элемент множества ( A È B ) È С. Тогда, по определению объединения, х Î A È B или хÎС.

Если х Î A È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х ÎА, то, также по определению объединения, х Î A È ( B È С).

Если х Î В, то имеем, что х Î B È С, а значит, х Î A È ( B È С). Случай, когда х Î А и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î A È B, следует, что х Î A È ( B È С).

Если х Î С, то, по определению объединения, х Î В È С, и следовательно, х Î A È ( B È С).

Случай, когда х Î A È B и х Î С, сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества ( A È B ) È С содержится и в множестве A È ( B È С), т.е. ( A È B ) È С Ì A È ( B È С).

2. Пусть у - любой элемент множества A È ( B È С). Тогда, по определению объединения, уÎА или уÎ B È С.

Если у Î А, то, по определению объединения, у ÎA È ( B È С).

Если у Î B È С, то у Î B или уÎ С. В том случае, когда у Î B, то уÎ AÈB и, значит, уÎ ( A È B ) È С. Когда же у Î С, то у Î ( A È B ) È С. Случай, когда у Î В и у Î С, сводится к уже рассмотренным.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества A È (B È С) содержится и в множестве (A È B) È С, т.е. A È (B È С) Ì (A È B) È С.

Согласно определению равных множеств заключаем, что ( A È B ) È С = A È ( B È С), что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.

Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:

1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B ) Ç С = (А Ç С) È ( ВÇ С).

2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B ) È С = (А È С) Ç ( В È С ).

Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.