Математическая красота физики: как ее понять?

С.П.Новиков

Красота и сила физики манили к себе. Я систематически изучал весь курс учебников в 1965-1970 гг. Кроме двух-rpex книг (по статической физике и квантовой электродинамике) я учился по книгам Ландау-Лифшица. Еще раньше я увидел, что круг физиков не только богаче круга математиков научно, но и честнее. Так было в СССР, не на Западе. Ученики Л.И.Мандельштама -А.А.Андронов, М.А.Леонтович, И.Е.Тамм и позднее его ученик А.Д.Сахаров - при своем влиянии как ведущие прикладные теоретические физики, считались эталоном порядочности в физико-математическом сообществе страны, более того - во всем научном сообществе СССР. Да и аналога П.Л.Капицы среди математиков не было. Позднее Сахаров стал эталоном порядочности и во всем мире. Еще с 20-х гг. круг учеников Мандельштама - это круг-близких друзей моих родителей. Руководящий круг математиков нашей страны в тот период был талантливым, но редкостно аморальным, я бы сказал бессовестным. Например, в 60-х гг. весь список академиков-математиков, за честность которых я бы поручился, состоял из моего отца - П.С.Новикова, а также С.Н.Берн-штейна, Л.В.Канторовича и И.Г.Петровского - единственно порядочного человека из крупных математиков-администраторов. Ленинградцы говорят, что В.И.Смирнов был абсолютно порядочным человеком, но он был посредственным математиком, я его не замечал. Мой брат, известный квантово-твердотельный физик Л.М.Келдыш, посмеиваясь сказал мне в начале 60-х гг.: раньше считали, что математики удалены от жизни, а вот сейчас говорят, что математик - это что-то бесчестное, первейший жулик. Такие начали ходить среди физиков разговоры о математиках. В начале 60-х гг. он съездил за границу (в США) и вернувшись тайком сказал мне: «Звонили американские физики в Госдепартамент, при мне, согласуя мою поездку куда-то по США, а там им ответили: "Мы думали, что Келдыш - это женщина".». Очевидно, имелась в виду наша мать Л.В.Келдыш - известный специалист по теории множеств и геометрической топологии, она уже съездила пару раз за рубеж (не в США). Значение этой ремарки, поразившей Леонида Келдыша в США, было очевидно. Он не ожидал, что Мстислав Келдыш абсолютно неизвестен на Западе как ученый. Тот и сам это понял позднее, и это было для него трагедией.

Возвращаясь к своей основной линии, я замечу, что тогда, в первой половине 60-х гг., травля чистой математики со стороны вычислителей не развилась далеко. Одной из важнейших причин этого было замечательное открытие новых частиц с помощью теории групп Ли и представлений. Возник целый мир кварков, новых скрытых степеней свободы в микромире. Немало надежд связывали тогда и с теорией функций многих комплексных переменных. Так или иначе, физики снова стали говорить, что нет законов природы, кроме законов математики. Они сочли, что необходимо резко усилить изучение современных математических идей. Вычислители - это что-то вроде ремонтных или строительных рабочих, надо начать самим их воспитывать, чтобы они стали более грамотны в физике, а вот абстрактная современная математика - это настоящая наука, ее ничем не заменишь. Усиление интереса к эйнштейновской гравитации и космологии в 60-х гг. возродило необходимость римановой геометрии; начали поговаривать о привлечении к делу топологии. Все это отсрочило кризис во взгляде общества на математику на несколько десятилетий. Математики успокоились.

Для меня этот период был важным. Я воспринял его как указание на необходимость приложить усилия и изучить путь от математики к естественным наукам, стал изучать теоретическую физику. Кроме меня это стали делать еще в 60-е гг. также Синай и Манин, из близких мне топологов - А.С.Шварц. Каждый из нас преследовал свои цели и шел своим путем.

Надо сказать, что никто из западных математиков этим путем не пошел тогда (разве что И.М.Зингер, позднее А.Конн). На Западе в сообществе чистых математиков доминировала идеология наподобие «религиозной теории чисел». Крупные и идейно влиятельные в западном мире математики - например, А.Вейль - усиленно пропагандировали тезис, что нет нужды обращаться к естественным науками и приложениям, - чтобы стать великим ученым, можно обойтись и без этого, времена изменились. Этот тезис безусловно размагничивал ту часть математического сообщества, которая могла бы пойти по направлению к естественным наукам и приложениям. Любопытно, что такие математики как М.Атья, Дж.Милнор, Д.Мамфорд в конечном счете тоже полностью разошлись с идеологией религиозно-чистой математики.

Сообщество чистых математиков на Западе выработало такую точку зрения: для заработка я преподаю математику в университете, это и есть мой долг обществу. Остальное же время я занимаюсь своей чистой математикой. С этой точкой зрения, они прожили ряд десятилетий.

У нас в стране было не так, этот подход не работал: никто не хотел преподавать. Кроме очень малого числа главных университетов, условия для людей, занимающихся преподаванием, были плохие. Педагогическая нагрузка была слишком большой, ни о каких поездках за границу и подумать было нельзя, на научную работу не было времени.

Так или иначе, западное сообщество математиков оторвалось от внешнего мира дальше и глубже, чем наше. Даже в блестящих центрах прикладной математики, как например «Институт Куранта» в Нью-Йорке, с течением времени сообщество все более понимало прикладную математику как набор строгих доказательств, вопросы обоснования Постепенно у меня выработалась такая точка зрения: конечно, математика или во всяком случае ее большая часть, включая современную абстрактную математику - это очень ценное для человечества знание. Но эту ценность не так-то просто реализовать. Лидеры математики должны быть людьми общенаучно грамотными, знать пути, соединяющие математику с внешним миром, уметь искать новые связи, помочь ориентировке молодежи. В противном случае я не вижу, как внутриматематические достижения могут стать полезны обществу. Не надо уподоблять математику музыке: та обращается непосредственно к эмоциям; она будет отвергнута, если люди никаких эмоций от нее не испытывают. Надо помнить, что математика - это профессия, а не развлечение. В прошлых поколениях математиков всегда было сообщество лидеров, высоко енимых внешним миром. Вспомните Пуанкаре, Гильберта, Г.Вейля, Дж. фон Неймана, А.Колмогорова, Н.Боголюбова... Из крупнейших ученых старшего поколения я много беседовал с Гельфандом. Он как-то сказал: «Меня беспокоило в юности, полезен ли тот функциональный анализ, который мы развивали. Поработав в приложениях, я нашел для себя ответ на этот вопрос и успокоился. Но, имея дело с физиками, не заблуждайтесь. Открыв что-то ценное, исходя из ваших знаний, которых у них нет, Вы с удивлением нередко обнаружите, что они пришли к тому же из каких-то других соображений. Никоим образом нельзя недооценивать то знание, которым они обладают».

Я понял в процессе изучения, что теоретическая физика, изученная систематически, с самых начал до современной квантовой теории, - это единое и нераздельное, обширное и глубокое математическое знание, замечательно приспособленное к описанию законов природы, к работе с ними, к эффективному получению результатов. Нельзя не согласиться с Ландау: чтобы понять это, необходимо изучить весь его «теоретический минимум». Это - костяк, определяющий Ваш уровень цивилизации. Человек, не изучивший его, имеет убогое неполноценное представление о теоретической физике. Такие люди могут оказаться вредны для науки, их не хочется допускать к теоретической физике. Их влияние будет способ­ствовать распаду образования.

К сожалению, сообщество математиков того времени не изучало даже элементы этого знания, включая и тех, кто называл себя прикладными математиками. К примеру, я быстро обнаружил, что практически никто из специалистов по уравнениям с частными производными не знает точно, что такое тензор энергии-импульса, и ни за что не сможет математически четко определить это понятие. У механиков некоторые сдвиги начались раньше. А.Ю.Ишлинский говорил мне много лет назад: «Мы с Баренблаттом сделали ошибку в 50-х гг., кто-то из физиков указал нам на неправильное поведения энтропии на гребне волны в нашей работе. Только после этого мы твердо выучили термодинамику, четыре потенциала, правила Максвелла и т.д.». Значит, до этого сообщество механиков таких вещей не изучало. Передовые, лучшие механики - выучили в 50-60-х гг. Математики же и тогда еще не выучили ничего подобного. Я спросил недавно С.В.Иорданского, ученика М.А.Лаврентьева, ставшего впоследствии хорошим квантовым физиком: «Сергей, скажи мне, что твой учитель Лаврентьев, считавший себя физиком, но ее определенно не знавший, думал о цикле учебников Ландау-Лившица? Тоже ругал их?» Тот ответил: «Нет, он сказал так: "Спецфункции хорошо знают...".». Так что Лаврентьев - математик талантливый, старающийся быть объективным, -что-то похвалил, но существования теорфизического знания там вообще не увидел. Или счел, что там все не имеет отношения к математике, кроме спецфункций. Это легкомыслие Лаврентьева, пренебрежение к глубокому комплексу знаний, созданному десятками громадных талантов и многократно опробованному, отсутствие даже понимания того, что это знание существует, имеет свои последствия: его сын, например, неплохой администратор (как директор Института математики в Новосибирском Академгородке) опровергает специальную теорию относительности. Не сомневайтесь, он вырос под полным научным влиянием отца. Вообще, у М.А.Лаврентьева при его способностях, была редкостная безответственность. Вспомнить только, как он спаивал всех вокруг себя, не понимая, что люди и здоровьем, и «водкоустойчивостью» гораздо слабее него, способного легко перепивать даже Хрущева. Его без­ответственность погубила немало хорошего в его же собственных блестящих начинаниях. Хочу сказать, однако же, что Лаврентьев и Петровский вдвоем провели в 1960-1966 гг. гигантскую полезную работу по раскрытию советской математики для мира, и мое поколение им этим обязано.

Так или иначе, но 60-е гг. - это период расцвета моего поколения, той первой фазы расцвета, когда старшее блестящее поколение еще было живо; многие из них еще действовали как ученые или администраторы, в то время как мы с большой энергией осуществляли свой первый тур развития математики и готовились к следующим. Как я уже написал выше, некоторые из нас - Синай, Мании, А.Шварц и я - стали изучать различные разделы теоретической физики, независимо друг от друга. В то же самое время различные волны теоретических физиков разными путями стали двигаться в сторону математики. В квантовой теории поля появилось аксиоматическое направление, целью которого было непротиворечиво и математически строго построить теорию, исходя из современного функционального анализа. Этого, конечно, не удалось сделать, но возник математически нетривиальный цикл строгих исследований по функциональному анализу с красивым алгебраическим и квантовополевым аспектом. Ряд специалистов по статистической механике (вышедшие из физиков) стали заниматься доказательством математических теорем. Например, интересен случаи Э.Либа: как известно, он начинал с блестящих широко признаннных в физике работ по точному решению проблем статистической физики; он всегда хорошо знал исследования физиков, сам внес важный вклад. Тем не менее, он выбрал профессию строгого математического физика, и не он один. Возникло сообщество современных математических физиков, доказывающих строгие теоремы. Большинство их имело первоначальное физическое образование Они стали, по существу, математиками. Именно на эту область держал курс Я.Г.Синай, изучая теоретическую физику, - на новую область математики, где доказывают строгие теоремы. Кроме Либа, никто из них не занимался даже в прошлом точно решаемыми моделями, это - другая, не та математическая физика.

Основой моей программы стало глубокое желание внести вклад на рубеже современной математики и теоретической физики базирующийся на идеях современной математики - на геометрии и топологии (включая геометрию динамических систем), на алгебраической геометрии и т.д. Могут ли они быть реально полезны, так сказать, в деле?

Всем был очевиден нарастающий компьютерный поток, который постепенно наполнял естественные науки, приложения и даже чистую математику, давая им новые гигантские возможности, особенно в приложениях. Но здесь я не могу ничего изменить, считал я: это будет развиваться и без меня, это уже становится разделом технологии. Что же касается внедрения в физику идей топологии или алгебраической геометрии, то здесь у меня могут возникнуть такие идеи, что никто меня заменить не сможет. Да и физики начали очень интересоваться современной математикой в конце 60-х гг. Взаимодействие с физиками в «Институте Ландау» - с Халатниковым, Горьковым, Дзялошинским, Поляковым, Захаровым, Питаевским, Воловиком, Мигдалом - оказалось плодотворным. Немало получил я от этого взаимодействия для своей программы, в чем-то помог им. В атмосфере этого взаимодействия выросли и мои ученики (кроме первого поколения, не пошедших со мной изучать основы теоретической физики, хотя некоторые из самых лучших, как например Бухштабер, внесли вклад в приложения). Думаю, что цели Шварца и его программа были не очень далеки от моих, хотя мы и «осели» потом в разных областях. Шварц много сделал для развития квантовой теории поля как нового раздела математики, иногда нестрогого, близкого к геометрии и топологии. Я старался развить нетрадиционные методы (к сожалению, их освоение встречает трудности у физиков), решать некоторые задачи, возникшие в общей теории относительности и квантовой механике, современной физике нелинейных волн, конденсированных сред и теории гальваномагнитных явлений, нередко вступая в конкуренцию с физиками. В некоторых, хотя и редких случаях, новая математика, возникшая в XX в., была реально полезна. Отсюда возникли также и новые задачи самой математики.

Что касается Манина, то его программа, как мне кажется, была совсем другой: несомненно, его особенно интересовали математический язык и логика теоретической физики. Он вообще жаждал внести вклад в формализацию науки. При этом склонность к изучению многих разнообразных вещей вообще всегда была его сильной стороной - он любил и умел это делать. О формализации математики мы поговорим особо. Мне кажется, у нее есть сторона, сыгравшая важную роль в развитии кризиса сообщества математиков. базирующийся на идеях современной математики - на геометрии и топологии (включая геометрию динамических систем), на алгебраической геометрии и т.д. Могут ли они быть реально полезны, так сказать, в деле?