Тема 2. Системы линейных уравнений

Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(1)

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Метод Гаусса

Пусть в системе (1) (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

. (2)

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Пример 13.

Решить систему методом Гаусса:

.

Решение.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и

2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице:

.

Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

.

Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

.

Из последнего уравнения получаем, что у = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z = 3, х = 1.

Итак, х = 1, у = 0, z = 3.

Правило Крамера

Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных: (3)

Назовем главным определителем такой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

, (4)

а определителем - определитель, полученный из (4) заменой столбца коэффициентов при x_j на столбец свободных членов. Тогда:

1) Если система (3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если = 0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Пример 14.

Решить систему по правилу Крамера:

.

Решение.

Главный определитель

следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем Δ_х, Δ_у и Δ_z:

Отсюда