Тема 1. Становление современной математики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Крюковский А.С., Келлин Н.С.

Для очной формы обучения ВСЕГО 450

лекции 131

семинары 116

Всего аудиторных занятий 247

самостоятельная работа 203

Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной

образовательной программы:

Пределы и непрерывные функции; числовые ряды; производная и дифференциал; приложения производной к исследованию функций; функциональные последовательности и ряды; интеграл от непрерывной (кусочно-непрерывной) функции одной переменной; евклидово пространство; дифференциальное исчисление для функций нескольких переменных; дифференцируемые отображения, неявные функции; криволинейные интегралы; аналитические функции; теория меры; интеграл; ряды и интегралы Фурье.

Цельюизучения дисциплины являетсязнакомство с основными понятиями, положениями и методами комбинатороной (алгебраической) топологии, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с широким использованием идеи непрерывности, уже введенной в рамках курса математического, анализа за первый семестр, навыков решения прикладных задач.

Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: «Математика» в объёме программы средней школы

В результате изучения дисциплины каждый студент должен:

- иметь представление о:

· месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории;

· о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и математических доказательств; структуре современной математики;

· об основных понятиях современной алгебры, математического анализа и геометрии (в том числе о логических и алгебраических структурах на множествах)

- знать:

· базовые понятия и теоремы комбинаторной топологии, аналитической геометрии, математического анализа функций одного и нескольких переменных, теории числовых и функциональных рядов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений;

· основы теории числовых множеств, теории линейных и евклидовых пространств, теории линейных операторов, векторного анализа, теории дифференциальных уравнений, дискретной математики и теории нечетких множеств;

- уметь:

· линейной алгебры и аналитической геометрии;

· дифференциального и интегрального исчислении функций нескольких переменны;

· теории числовых и функциональных рядов, определять условия их сходимости, уметь анализировать свойства функций с помощью степенных рядов и рядов Фурье;

· теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уметь находить решения основных типов дифференциальных уравнений и систем, в первую очередь линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами;

· теории линейных операторов, линейных и евклидовых пространств.

Основные виды занятий: лекции и практические занятия.

Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.

Основной вид рубежного контроля знаний: контрольные работы, зачет и экзамены.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение

Тема 1. Становление современной математики

Математика как часть общечеловеческой культуры. Взгляды на математику выдающихся деятелей прошлого и настоящего, их оценка роли и места математики в решении интеллектуальных задач из различных сфер человеческой деятельности. Роль математики в гуманитарных науках. Основные этапы становления современной математики. Структура современной математики.

Раздел 1.

Множества, действительные и комплексные числа, алгебраические уравнения

Тема 2. Основные черты математического мышления

Основные черты математического мышления, аксиоматический подход, математические доказательства, прямая, обратная и противоположная теоремы. Индукция и дедукция, бином Ньютона. Элементы и множества, конечные и бесконечные множества, отношения и отображения. Понятие размерности, множества дробной размерности.

Тема 5. Комплексные числа

Определение комплексных чисел, действия с ними. Поле комплексных чисел. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Логарифм комплексного числа.

Тема 6. Мощность множества

Десятичные дроби. Мощность множества. Равномощность целых, рациональных и натуральных чисел. Равномощность действительных и комплексных чисел. Равномощность множества точек прямой и n-мерного пространства.

Раздел 2.

Раздел 2.1.

Тема 8. Вектор

Определение вектора, модуль вектора, единичный вектор. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Проекция вектора и суммы векторов на ось. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по координатному базису на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Ортонормированный базис. Декартова система координат. Деление отрезка в заданном отношении. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Радиус-вектор точки. Направляющие косинусы вектора. Понятие о векторных диаграммах.

Тема 13. Матрицы

Действия над матрицами: сложение и умножение матриц, транспонирование. Делители нуля. Множество квадратных матриц n-ого порядка как пример ассоциативного некоммутативного кольца. След матрицы. Линейно зависимые столбцы (строки матрицы). Базисный минор. Ранг и коранг матрицы. Элементарные преобразования. Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Обратные матрицы. Вычисление обратных матриц. Ортогональные и унитарные матрицы. Обобщенные обратные матрицы. Блочные матрицы. Произведение Кронекера.

Раздел 2.2.

Системы линейных уравнений

Раздел 2.3.

Тема 20. Квадратичные формы

Определение квадратичной формы, приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы. Условие знакоопределенности квадратичной формы.

Раздел 2.4.

Тема 21. Аксиомы Евклида

Геометрия Евклида как первая из дошедших до нас естественнонаучных теорий. Аксиомы Евклида.

Раздел 3.

Математический анализ

Раздел 3.1.

Тема 25. Функция

Определение функции, область ее определения и область значений. Характеристики поведения функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность, периодичность. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Замечательные кривые. Неявные функции. Сложные и обратные функции, их графики.

Тема 26. Предел функции

Предел функции в точке. Эквивалентность определения пределов в смысле Гейне и в смысле Коши. Предел функции на бесконечности. Предел слева и справа. Свойства пределов: арифметические действия над функциями, имеющими пределы, предельные переходы в неравенствах функций, имеющих пределы. Предел монотонной функции. Критерий Коши. Некоторые замечательные пределы. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций, главная часть функции, о-малое и О-большое. Предел функции нескольких переменных

Раздел 3.2.

Тема 31. Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Представление основных элементарных функций exp(x), sin(x), cos(x), sh(x), ch(x), ln(1+x), (1+x)aпо формуле Маклорена. Применение формулы Тейлора в вычислительной математике.

Раздел 3.3.

Раздел 3.4.

Раздел 3.5.

Раздел 3.6.

Тема 41. Кратные интегралы

Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Замена переменных в двойных и тройных интегралах. Переход к полярной, цилиндрической и сферической системам координат. Вычисление площади поверхности и объема.

Раздел 3.7.

Тема 43. Числовые ряды

Понятие числового ряда, частичные суммы, определение сходимости и расходимости числового ряда. Сумма числового ряда как предел последовательности частичных сумм. Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Признаки сравнения. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признак Д'Аламбера, признак Коши, признак Гаусса, интегральный признак. Обобщенный гармонический ряд . Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов, признаки Дирихле и Абеля. Действия с рядами.

Тема 45. Степенные ряды

Степенные ряды, радиус сходимости степенных рядов, равномерная сходимость степенного ряда внутри интервала сходимости. Формулы Д’Аламбера и Коши–Адамара для вычисления радиусов сходимости степенных рядов. Аналитические функции. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора. Дифференцирование интегрирование степенных рядов. Ряд Лорана. Понятие вычета. Вычисление некоторых определенных интегралов с помощью теории вычетов. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Раздел 4.

Раздел 5.

Тема 57. Основные понятия комбинаторики

Элементы комбинаторики: генеральная совокупность, перестановки, размещения, сочетания с повторением и без повторения. Группа подстановок.

Тема 59. Нечеткие множества

Нечеткие знания: мягкие вычисления, понятие логической переменной. Элементы теории нечетких множеств: базовая шкала, функция принадлежности, степень уверенности. График функции принадлежности нечеткому множеству. Нечеткие алгоритмы. Теория неопределенностей.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. Т.1-3, (любое издание).

2. Шилов Г.Е. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. Т.1-3, (любое издание).

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П.Демидовича (любое издание).

4. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа. 1996.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1980 . (или любое другое издание).

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука. 1972 г. (или любое другое издание).

Дополнительная:

1. Стинрод Н., Чинн У. Основные понятия топологии. М.:«Мир», 1968.

2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: "Банки и биржи", Изд. объед. "ЮНИТИ". 1997.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Изд. технико-теоретической литературы 1951-1956 гг. (или любое другое издание).

4. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука (любое издание).

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука. 1971 г. (или любое другое издание).

6. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С.. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, (любое издание).

7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука. 1977 (или любое другое издание).

8. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа. Т.1-2. 1973. (или любое другое издание).

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики (любое издание).

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (любое издание).

11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука. 1972. (или любое другое издание).

12. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука. 1964 г. (или любое другое издание).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Крюковский А.С., Келлин Н.С.

Для очной формы обучения ВСЕГО 450

лекции 131

семинары 116

Всего аудиторных занятий 247

самостоятельная работа 203

Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной

образовательной программы:

Пределы и непрерывные функции; числовые ряды; производная и дифференциал; приложения производной к исследованию функций; функциональные последовательности и ряды; интеграл от непрерывной (кусочно-непрерывной) функции одной переменной; евклидово пространство; дифференциальное исчисление для функций нескольких переменных; дифференцируемые отображения, неявные функции; криволинейные интегралы; аналитические функции; теория меры; интеграл; ряды и интегралы Фурье.

Цельюизучения дисциплины являетсязнакомство с основными понятиями, положениями и методами комбинатороной (алгебраической) топологии, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с широким использованием идеи непрерывности, уже введенной в рамках курса математического, анализа за первый семестр, навыков решения прикладных задач.

Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: «Математика» в объёме программы средней школы

В результате изучения дисциплины каждый студент должен:

- иметь представление о:

· месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории;

· о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и математических доказательств; структуре современной математики;

· об основных понятиях современной алгебры, математического анализа и геометрии (в том числе о логических и алгебраических структурах на множествах)

- знать:

· базовые понятия и теоремы комбинаторной топологии, аналитической геометрии, математического анализа функций одного и нескольких переменных, теории числовых и функциональных рядов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений;

· основы теории числовых множеств, теории линейных и евклидовых пространств, теории линейных операторов, векторного анализа, теории дифференциальных уравнений, дискретной математики и теории нечетких множеств;

- уметь:

· линейной алгебры и аналитической геометрии;

· дифференциального и интегрального исчислении функций нескольких переменны;

· теории числовых и функциональных рядов, определять условия их сходимости, уметь анализировать свойства функций с помощью степенных рядов и рядов Фурье;

· теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уметь находить решения основных типов дифференциальных уравнений и систем, в первую очередь линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами;

· теории линейных операторов, линейных и евклидовых пространств.

Основные виды занятий: лекции и практические занятия.

Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.

Основной вид рубежного контроля знаний: контрольные работы, зачет и экзамены.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение

Тема 1. Становление современной математики

Математика как часть общечеловеческой культуры. Взгляды на математику выдающихся деятелей прошлого и настоящего, их оценка роли и места математики в решении интеллектуальных задач из различных сфер человеческой деятельности. Роль математики в гуманитарных науках. Основные этапы становления современной математики. Структура современной математики.

Раздел 1.