Рассмотрим основные свойства функций.

1. Четность и нечетность. функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)=f(x) и нечетной, если f(-х)=-f(х). В противном случае функция у =f(х) называется функцией общего вида.

Например, функция у=х2 является четной (так как f(-х)=(-х)2 =x2 и f(-х)=f(х), а функция у = х3 - нечетной (так как f(-х)=(-х)3 =-х3 и f(-х)=-f(x)

В то же время, например, функция у = х2 + х3 является функцией общего вида, так как f(-х)= (-х)2 + (-х)3 = х23 f(-х) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru f(х) и f(-х) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru -f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции у=х2 на рис.1.), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции у=х3 на рис.2.)

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Монотонность. Функция f=f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему (меньшему) значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х1, х2 ? Х и х2> х1. Тогда функция возрастает на промежутке Х, если Х, если

f(х2) >f(х1), и убывает, если f(х2) <f(х1) (см. рис. 3).

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Рисунок 3.

Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Ограниченность. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число M>0, что Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru для любого х ? Х. В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция у=sinх ограничена на всей числовой оси, так как либо Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru для любого х ? R.

4. Периодичность. Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(х +Т)=f(х).

Например, функция у=sinх имеет период Т=2π, так как для любых х sin(х+2π)=sinx

Решение типовых заданий

Пример 1.Найти область определения функций

а) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru ; б) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru ; в) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru .

Решение. а) Область определения функции X найдем

из системы неравенств Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru откуда Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru или Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru .

б) Имеем систему Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru . Решая первое неравенство,

получим Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru ; решая второе, найдем Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , откуда Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru и Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru . С помощью числовой оси (рис.4) находим решение системы неравенств: Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru ,т.е. область определения функции Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru .

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Рисунок 4

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru в) Область определения найдем из неравенства Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , откуда Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru . Так как при любом Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , то перейдем к равносильному неравенству Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , откуда

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , или Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , т.е. область определения функции Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru .

Пример 2. Найти область значений функций: Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Решение. Преобразуем функцию

Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , то Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Итак, область значений функции Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:




а) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

б) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

в) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

решение:

а) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru Так как Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , то данная функция четная;

б) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru (после преобразований).

Так как Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , то данная функция четная.

в) Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Так как Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru и Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru , то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.

Упражнения и задания для самостоятельной работы

Теоретические вопросы

1. Что такое функция?

2. Какие существуют способы задания функций?

3. Какую функцию называют периодической? Что такое период функции?

4. Какая функция называется четной? нечетной?

5. Какая функция называется монотонной.

Задание 1. Найти область определения функции.

1. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

2. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

3. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

4. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

5. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

6. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

7. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

8. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

9. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

10. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

11. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

12. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

13. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

14. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

15. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

16. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

17. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

18. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

19. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

20. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

21. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

22. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

23. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

24. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

25. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

26. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

27. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

28. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

29. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

30. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Задание 2. Найти область значения функции.



1. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

2. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

3. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

4. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

5. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

6. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

7. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

8. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

9. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

10. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

11. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

12. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

13. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

14. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

15. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

16. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

17. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

18. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

19. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

20. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

21. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

22. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

23. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

24. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

25. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

26. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

27. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

28. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

29. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

30. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Задание 3. Выяснить четность (нечетность) функции:

1. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

2. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

3. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

4. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

5. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

6. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

7. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru ;

8. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

9. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru .

10. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

11. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

12. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

13. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

14. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

15. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

16. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

17. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

18. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

19. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

20. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

21. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

22. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

23. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

24. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

25. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

26. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

27. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

28. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

29. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

30. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

Задание 4. Построить графики функции:

1. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

2. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

3. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

4. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

5. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

6. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

7. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

8. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

9. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

10. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

11. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

12. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

13. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

14. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

15. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

16. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

17. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

18. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

19. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

20. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

21. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

22. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

23. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

24. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

25. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

26. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

27. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

28. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

29. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

30. Рассмотрим основные свойства функций. - student2.ru

II. Предел функции.

Наши рекомендации