Красноярский юридический техникум
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Красноярский юридический техникум
Сборник задач и упражнений
По математике
Учебно-методическое пособие для специальности:
Земельно–имущественные отношения
(базовый курс ПСО)
2010 г.
Содержание
Пояснительная записка. 3
I.Функция. 4
Понятие функции. Способы задания и свойства. 4
Решение типовых заданий. 6
Упражнения и задания для самостоятельной работы.. 8
II.Предел функции. 11
Методы вычисления пределов функции. 11
Основные теоремы о пределах. 12
Решение типовых заданий. 13
Упражнения и задания для самостоятельной работы.. 18
III.Непрерывность функции. 23
Решение типовых заданий. 24
Упражнения и задания для самостоятельной работы.. 26
Список рекомендуемой литературы.. 31
Пояснительная записка
Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для организации практических занятий и процесса самоподготовки студентов второго курса, обучающихся по специальности 080114 земельно-имущественное хозяйство, изучающих раздел «Функции. Пределы функции. Непрерывность функции». Цель данного методического пособия оказать студентам помощь в овладении методикой решений практических задач по математике.
По данному разделу предусматривается 4 практических занятий, в том числе выполнение студентами на последнем занятии аудиторной контрольной работы.
Каждое практическое занятие содержит следующие структурные элементы:
1).10-минутная проверочная работа по учебному материалу предыдущего занятия;
2). Теоретическое введение по теме занятия, решение типовых задач;
3). Самостоятельная работа студентов;
4). Методические указания и задания для подготовки к следующему занятию.
На 10-минутную проверочную работу и теоретическое введение с решением типовых задач отводится 1 академический час. Второй час отводится на самостоятельную работу и выдачу домашнего задания и указаний для самоподготовки студентов к следующему занятию.
Предлагаемые типовые задачи, и задачи для самостоятельного решения составляют набор «обязательных» задач для всех студентов. Дополнительные задачи могут быть предложены наиболее подготовленным студентам.
I. Функция
Понятие функции. Способы задания и свойства
Определение функции: Если каждому элементу х множество Х (х ? Х) ставиться в соответствие вполне определенный элемент у множества y (y ? Y), то говорят, что множестве, Х задана функция у=f(х).
При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у- зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствие.
Множество Х называется областью определения (или существования) функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у =f(х) вообще имеет смысл.
Например, область определения функции 
есть полуинтервал 
, так как 10–х> если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии 
областью определения функции будет отрезок [0; 10].
Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида у=f(х). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.
Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция
имеет два аналитических выражения: х2 (при х< 0) и х + 3 (при х 
0).
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(х), например таблица логарифмов.
в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты — соответствующие им значения функции у=f(х).
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(х)=1, если х рационально; f(х) = 0, если х иррационально.
Решение типовых заданий
Пример 1.Найти область определения функций
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. а) Область определения функции X найдем
из системы неравенств 
откуда 
или 
.
б) Имеем систему 
. Решая первое неравенство,
получим 
; решая второе, найдем 
, откуда 
и 
. С помощью числовой оси (рис.4) находим решение системы неравенств: 
,т.е. область определения функции 
.
Рисунок 4
в) Область определения найдем из неравенства 
, откуда 
. Так как при любом 
, то перейдем к равносильному неравенству 
, откуда
, или 
Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом , т.е. область определения функции 
.
Пример 2. Найти область значений функций: 
Решение. Преобразуем функцию
Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. 
, то 
, 
, 
Итак, область значений функции 
Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:
а) 
б) 
в) 
решение:
а) 
Так как 
, то данная функция четная;
б) 
(после преобразований).
Так как 
, то данная функция четная.
в) 
Так как 
и 
, то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Упражнения и задания для самостоятельной работы
Теоретические вопросы
1. Что такое функция?
2. Какие существуют способы задания функций?
3. Какую функцию называют периодической? Что такое период функции?
4. Какая функция называется четной? нечетной?
5. Какая функция называется монотонной.
Задание 1. Найти область определения функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13.
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 2. Найти область значения функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24.
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3. Выяснить четность (нечетность) функции:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
;
8. 
9. 
.
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29.
30. 
Задание 4. Построить графики функции:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
II. Предел функции.
Решение типовых заданий
Пример 1. Найти: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Р е ш е н и е: а) На основании непрерывности функции в точке х=7 искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. 
.
б) При 
числитель (3х+5) стремится к 
(т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х-5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной); очевидно, их отношение есть величина бесконечно большая, т.е. = 
.
в) =0, ибо отношение ограниченной функции sinx 
к бесконечно большой величине х (при 
) есть величина бесконечно малая.
г) 
=0, т.к. произведение бесконечно малой величины х (при 
) на ограниченную функцию 
есть величина бесконечно малая.
Заметим, что этот предел нельзя вычислять с помощью теоремы о пределе произведения, поскольку 
не существует (при аргумент косинуса 
изменяется непрерывно вдоль числовой оси до бесконечности, при этом значения 
колеблются от -1 до 1 и от 1 до -1, не стремясь ни к какому числу (пределу).
В рассмотренных примерах предел находится сразу: в виде числа или символа 
. Но чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела неясен: например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение 
) или бесконечно больших 
. Кроме отмеченных неопределенностей вида и в математическом анализе рассматриваются также неопределенности вида 
, 
, 
, 
, 
.
Пример 2.Найти:
а) 
; б) 
; в) 
.
Р е ш е н и е: а) для раскрытия неопределенности вида 
Разложим числитель на множители и сократим дробь множитель (х-1): сокращение возможно, т.к. при 
(х-1) стремится к нулю, но не равен нулю.
= 
= 
= 
.
б) Для раскрытия неопределенности вида умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
в) Для раскрытия неопределенности вида удобно предварительно сделать замену 
(тогда 
, при ), а затем полученные многочлены разложить на множители: 
= = 
.
Пример 3.Найти: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
Р е ш е н и е: а) Имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при 
определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно 
и 
), разделим числитель и знаменатель на 
, т.е. на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получим:
.
б) Используя тот же прием, что и в п.а), можно показать, что
= = 
, т.е. предел отношения двух многочленов 
равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях х или , если показатель степени числителя и соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.
Рекомендуем запомнить это правило.
в) Имеем неопределенность вида . Здесь выражению в числителе условно можно приписать степень 
, а в знаменателе степень m=2; т.к. 
, то на основании правила, сформулированного в п.б), искомый предел равен .
Действительно, разделив и числитель и знаменатель на 
, получим:
= = 
.
г) При имеем неопределенность вида 
, при этом поведение числителя и знаменателя определяется вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых. Разделив числитель и знаменатель на 
и используя теоремы о пределах, получим:
, поскольку 
.
При 
имеем неопределенность вида 
, при этом поведение числителя и знаменателя определяется первыми слагаемыми, которые убывают медленнее других. Разделив числитель и знаменатель на 
и используя теоремы о пределах, получим:
.
д) Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель на x, получим
так как 
Пример 4. Найти:
а) 
б) 
в) 
Решение: а) Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряжение выражение, получим
б) При 
имеем неопределенность вида , ибо квадратный корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен.
Обращаем внимание на то, что при x → 
в знаменателе нет неопределенности, так как он представляет сумму бесконечно больших положительных величин – величину, бесконечно большую.
в) 
Пример 5.Вычислить пределы числовых последовательностей.
Пример 6.Вычислить пределы числовых последовательностей.
Пример 7 .Вычислить пределы функций.
Пример 8 .Вычислить пределы функций.
Пример 9 .Вычислить пределы функций.
Пример 10.Вычислить пределы функций.
Пример 11.Вычислить пределы функций.
Пример 12.Вычислить пределы функций.
Пример 13.Вычислить пределы функций.
Пример 14.Вычислить пределы функций.
Упражнения и задания для самостоятельной работы
Теоретические вопросы
- Что называется пределом числовой последовательности?
- Что такое бесконечно малая (бесконечно большая) величина?
- Какие свойства пределов числовых последовательностей используют при вычислении пределов?
- Что такое предел функции в точке?
- Какие свойства пределов функций используются при вычислении пределов?
- Что такое I (II) замечательный предел?
III. Непрерывность функции
Раскрытие неопределенностей
Может случиться, что функция 
определена и непрерывна всюду, за исключением некоторого значения 
, при котором функция теряет смысл (становится неопределенной).
Определение. Операция нахождения предела функции при 
в этом случае называется раскрытием неопределенности, а сам предел 
, если он существует, называется истинным значением функции при .
Решение типовых заданий
1.Вычислить предел 
.
,
отсюда следует, что функция 
не определена, а значит разрывна в точке 
. Выполним некоторые преобразования этой функции, а именно вынесем общий множитель знаменателя дроби за скобку. Получим:
.
2.Вычислить предел 
.
.
Преобразуем функцию 
, а именно применим формулу сокращенного умножения.
.
3.Вычислить предел 
.
,
Преобразуем функцию 
, а именно разложим на множители квадратный трехчлен, находящийся в числителе, используя теорему Виета.
.
4.Вычислить предел 
.
Преобразуем функцию 
, а именно используем умножение числителя и знаменателя на число сопряженное.
5.Вычислить предел 
.
Преобразуем функцию 
, используя «замечательный предел»
. Получим
,
так как 
и 
, то 
.
6.Вычислить предел 
.
Так как 
, то
.
Упражнения и задания для самостоятельной работы
Теоретические вопросы
1. Какая функция называется непрерывной в точке?
2. Дайте определение непрерывность сложной функции.
3. Сформулируйте свойства функций, непрерывных в точке.
4. Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функций.
5. Что такое скачек функции?
Задание 1. Доказать, что функция 
непрерывна в точке 
(найти 
).
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задание 2. Пользуясь определением непрерывности "на языке
приращения", доказать непрерывность следующих функций в области
их определения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3. Вычислить пределы функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Список рекомендуемой литературы
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. М., Наука, 1982.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части 1, 2. М.., Высшая школа, 1980.
4.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М., Высшая школа, 1994.
5.Кулакова Р.Д., Титаренко В.И. Варианты курсовых заданий. Методические указания к курсовому заданию “Пределы функций. Производные”. М., МАТИ, 1999.
6.Шкерина Л. В. Сборник задач по введению в математический анализ: учебное пособие. Красноярск: КГПИ, 1992.-152 с.
7.Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.
8.Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях.