Размерные и безразмерные величины.
Параметры процессов нуждаются в количественной оценке.
Размерность– масштаб для измерения величин.
Размерные величины – те, которые зависят от выбора масштаба.
Безразмерные величины – не зависят от системы единиц (кпд).
Если физические величины связаны некоторой зависимостью, то ей же и подчиняются и их размерности. В противном случае в формуле появятся дополнительные коэффициенты.
1)
2) Путь будет введена независимая единица Н.
Сейчас используется основная система единиц СИ:
2.3. π – теорема.
Размерность любой произвольной единицы будет выражаться в виде одночлена размерности базовых величин.
[a] = Lcα tβ Mγ Tæ (2.1)
[ρ] = M1 L-3 = кг/м3
[υ] = L t-1 = м/с
Любое физическое соотношение между (n-1) размерными величинами может быть представлено в виде соотношения между [(n+1)-k] безразмерными величинами, где k ≤ n – число величин с независимыми размерностями.
Пусть зависимость имеет вид:
(2.2)
Пусть первое k из были базовыми для данной задачи. Очевидно, что они должны быть независимыми (никакую из них нельзя выразить через остальные (k-1) базовых величин.
Например.
· Длина, плотность, скорость.
[L] = м, [ρ] = кг/м3, [u] = м/с.
М = [ρ ∙ r ∙ u]β = кгα ∙ м-3α ∙ mβ ∙ c-β – нет решений.
L – независима от [u] и [β], т.е. L, ρ, u – независимы.
· Длина, кинематическая вязкость, скорость.
[L] = м, [ν] = м2/с, [u] = м/с.
[L] = [ν]α [u]β ó C0 M1 = M2α C-α Mβ C-β = M2α+β-α-β
- α - β = 0
2α + β = 1
α = 1,
β = -1.
Т.е. L, ν, u – зависимы (их нельзя выбирать, как базовые).
· Длина, динамическая вязкость, скорость.
[L] = м, [μ] = кг/м∙с, [u] = м/с.
[L] = [μ]α = [u]β ó М1 КГ0 С0 = КГα М-α С-α, Мβ С-β = КГα М(β-α) С(-α-β)
α = 0
β - α = 1
- α - β = 0
Система не имеет решений. Величины независимы.
Тогда остальные величины можно выразить через базовые j, i – индексы.
Поменяем масштабы для базовых величин в βj раз, тогда их размерности в новой системе единиц [γj] = βj [aj], j = 1,k.
Для остальных величин (производных):
Например. Переход к новым системам единиц:
[L] = м, [t] = мин. U = 600 м/мин.
Данный пример даёт методику перехода к новой системе единиц измерения. В новой системе единиц измерения зависимость (2.2) принимает следующий вид:
,
(2.4)
Поскольку, для независимых переменных можем масштаб выбирать произвольно, тогда выбираем их так, что первые k переменные зависимости «исчезли», т.е. чтобы .
Очевидно, что это достигается следующим образом: (2.5)
Тогда остальные величины, с зависимыми размерностями следующие будут определяться следующими безразмерными величинами:
(2.6) |
После подстановок результатов (2.6) в (2.4) вместо зависимости (2.2) мы получим:
Зависимость (2.6) показатели степеней в знаменателе ищутся из условий безразмерности новых переменных Пi.
Конец доказательства π-теоремы.
Следствие. Если n=k, то π-теорема позволяет определить вид функциональной зависимости (2.2) с точностью до производной постоянной. Для n=k выражение (2.7) принимает вид:
С учетом (2.6)
Замечание. 1) Осторожно! Искусственное занижение n приведет к неправильным результатам.
2)Теория размерностей не дает вид функциональных зависимостей (за исключением случаев n=k).
3)Основное положение теорий размерности, клонирование эксперимента и определение условий подобия моделируемых явлений реальными.
Примеры применения.