Функция R является нечетной относительно cosx.

Первообразная

Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

2. Неопределенный интеграл.

Определение:Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:1.

2.

3.

4.

3. Методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Интегрирование по частям.

(uv)¢ = u¢v + v¢u

;

Интегрирование элементарных дробей.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I. = II.

Определение:Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

I. II. III. IV.

m, n – натуральные числа (m³ 2, n³ 2) и b² – 4ac<0.

4. замены переменных.

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство:Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

5. Теорема о производной от неопределённого интеграла

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

и

6. Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

7. Интеграл вида

Если хотя бы одно из чисел mили n– нечетное, то, отделяя от нечётной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin²x+cos²x=1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу

8. Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом: =

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Интеграл вида если

Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i-x_i-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел: = Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

21.Определение определенного интеграла Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Условный экстремум.

Условный экстремум находится,когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

=0 (1)

Кроме того:

(2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

Полный дифференциал ФНП

Определение:Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке

(х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

25.функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

Доказательство.

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда

27.Инвариантность формы полного дифф.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹dx. Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Градиент

Опр.Grad скал поля U в данной точке М наз. вектор:

Аналогично: (скалярное произведение)=

Св-ва grad:

1. grad направлен по нормали к поверхности уровня U(x,y,z)=с;

2. grad направлен в сторону возрастания ф-ции поля

3. Модуль grad = наибольшей производной по направлению в данной точке

Первообразная

Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

2. Неопределенный интеграл.

Определение:Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:1.

2.

3.

4.

3. Методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Интегрирование по частям.

(uv)¢ = u¢v + v¢u

;

Интегрирование элементарных дробей.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I. = II.

Определение:Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

I. II. III. IV.

m, n – натуральные числа (m³ 2, n³ 2) и b² – 4ac<0.

4. замены переменных.

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство:Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

5. Теорема о производной от неопределённого интеграла

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

и

6. Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

7. Интеграл вида

Если хотя бы одно из чисел mили n– нечетное, то, отделяя от нечётной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin²x+cos²x=1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу

8. Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом: =

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Интеграл вида если