ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая)
1) ДУ вида (1)
Для решения ДУ (1) надо проинтегрировать уравнение n-раз
2) ДУ вида y’’=f (x, y’) ( то есть правая сторона не зависит от у)
Полагаем, y’=p, p=p(x) –неизвестная функция. Следовательно, y’’’=p’
Подставим y’, y’’ в уравнение: p’=f(x,p), то есть ДУ первого порядка
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
y’’+py’+qy=0 (1), гдеp,q –заданные числа
Теорема (структура общего решения ЛОДУ): Пусть - линейно независимые частные решения уравнения (1), тогда -общее решение уравнения(1), где -произвольные постоянные
Рассмотрим:
Полагаем => =>
Следовательно, является решением уравнения (1), если (2) – характеристическое уравнение
Возможны три случая:
1) D>0 => . Тогда из теоремы следует - общее решение
2) D=0 =>k1=k2 – действительные корни уравнения (2). Тогда - общее решения (1)
3) D<0 => - комплексносопряженные корни. Тогда,
Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где
p, q – заданные действительные числа
f(x) – заданная функция
Определение двойного интеграла, его свойства
Если существует конечный предел интегральной суммы при n–> , не зависящий от способа разбиения i области D и выбора точек (xi,yi), то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Обозначение:
, т.е.
Свойства:
3.
Пусть D=D1∪D2(объединение), D1 ⋂D2 – линия
Тогда
13. Вычисление двойного интеграла
Обознач.
Опр.Если существует конечный предел сумма
(ВМЕСТО k БУКВА i)при n ∞, независимо от способа разбиения области D и выбора точек (xi,yi), то предел называеют двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.
Область первого типа( область правильная относительно оси ОY)
Область второго типа( область правильная относительно оси OX)
Формула перехода к полярным координатам
К полярным координатам рекомендуется переходить, если1) подынтегральная функция зависит от x2+ y2, т.е f(x2+y2) в область D входит окружность или ее часть.
14.Приложения двойного интеграла
Замечание: Цилиндрическое тело- тело, ограниченное сверху - поверхность z=f(x,y) снизу – областью D с боков – поверхностью с образующей пар. Оси OZ
Определение тройного интеграла и его свойства.
Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):
здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,
i = 1,...,n;
— ранг разбиения;
– диаметр i-ой элементарной части.