ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая)

1) ДУ вида ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru (1)

Для решения ДУ (1) надо проинтегрировать уравнение n-раз

2) ДУ вида y’’=f (x, y’) ( то есть правая сторона не зависит от у)

Полагаем, y’=p, p=p(x) –неизвестная функция. Следовательно, y’’’=p’

Подставим y’, y’’ в уравнение: p’=f(x,p), то есть ДУ первого порядка

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y’’+py’+qy=0 (1), гдеp,q –заданные числа

Теорема (структура общего решения ЛОДУ): Пусть ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru - линейно независимые частные решения уравнения (1), тогда ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru -общее решение уравнения(1), где ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru -произвольные постоянные

Рассмотрим: ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Полагаем ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru => ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru => ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Следовательно, ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru является решением уравнения (1), если ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru (2) – характеристическое уравнение

Возможны три случая:

1) D>0 => ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru . Тогда из теоремы следует ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru - общее решение

2) D=0 =>k1=k2 – действительные корни уравнения (2). Тогда ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru - общее решения (1)

3) D<0 => ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru - комплексносопряженные корни. Тогда,

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru , где

p, q – заданные действительные числа

f(x) – заданная функция

Определение двойного интеграла, его свойства

Если существует конечный предел интегральной суммы ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru при n–> ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru , не зависящий от способа разбиения i области D и выбора точек (xi,yi), то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Обозначение:
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru , т.е. ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Свойства: ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

3.

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Пусть D=D1∪D2(объединение), D1 ⋂D2 – линия

Тогда ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru 13. Вычисление двойного интеграла
Обознач. ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru
Опр.Если существует конечный предел сумма
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru (ВМЕСТО k БУКВА i)при n ∞, независимо от способа разбиения области D и выбора точек (xi,yi), то предел называеют двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Область первого типа( область правильная относительно оси ОY)
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru
Область второго типа( область правильная относительно оси OX)
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Формула перехода к полярным координатам

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru
К полярным координатам рекомендуется переходить, если1) подынтегральная функция зависит от x2+ y2, т.е f(x2+y2) в область D входит окружность или ее часть.

14.Приложения двойного интеграла
Замечание: Цилиндрическое тело- тело, ограниченное сверху - поверхность z=f(x,y) снизу – областью D с боков – поверхностью с образующей пар. Оси OZ
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Определение тройного интеграла и его свойства.

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

i = 1,...,n;

ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru — ранг разбиения;
ДУ, допускающие понижение порядка (2 случая) - student2.ru – диаметр i-ой элементарной части.

Наши рекомендации