Проверила: Преподаватель математики Закирова А.Р
Государственное Автономное Образовательное
Учреждение Среднего
Профессионального Образования
Нефтекамский нефтяной колледж
РЕФЕРАТ
“Из истории теории вероятности и математической статистики”
Выполнил: студент группы 2Эл178(2) Ахатов Р.А
Проверила: Преподаватель математики Закирова А.Р
г.Нефтекамск 2014г.
Теория вероятности
Теория вероятности — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (1445 — 1514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proortiona1ita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501 — 1576) и Галилей (1564 — 1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи.
Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам (вспомним, что во втором письме приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима.
В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629 — 1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654 — 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году).
Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667 — 1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Мепзига mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions в 1711 году.
Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 — 1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
w - элементы пространства W ;
W - пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.
Операции над событиями.
1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.
2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.
4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.
Формулы де Моргана: и
5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.
C=A× B=V
Тут V - пустое множество.
Свойства частости.
WЧастость достоверного события равна 1. n(U)=1.
Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.
Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.
Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i¹ j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:
nA=nA1+nA2+...+nAk
Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.
Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.
Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.
Математическая статистика
Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании)
Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений[1]. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.
Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.
Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.
Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальдво время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.
В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.
В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
Государственное Автономное Образовательное
Учреждение Среднего
Профессионального Образования
Нефтекамский нефтяной колледж
РЕФЕРАТ
“Из истории теории вероятности и математической статистики”
Выполнил: студент группы 2Эл178(2) Ахатов Р.А
Проверила: Преподаватель математики Закирова А.Р
г.Нефтекамск 2014г.
Теория вероятности
Теория вероятности — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (1445 — 1514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proortiona1ita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501 — 1576) и Галилей (1564 — 1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи.
Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам (вспомним, что во втором письме приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима.
В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629 — 1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654 — 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году).
Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667 — 1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Мепзига mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions в 1711 году.
Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 — 1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
w - элементы пространства W ;
W - пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.
Операции над событиями.
1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.
2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.
4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.
Формулы де Моргана: и
5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.
C=A× B=V
Тут V - пустое множество.