Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации

Рассмотрим следующую задачу.

Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы данного вида приведены в табл 25.1. В ней указаны такие запа­сы сырья каждого вида, которые могут быть использованы на производство единицы продукции данного вида. Известно, что цена единицы продукции может изменяться для изделия А от 2 до 12 усл. ед., а для изделия В — от 13 до 3 усл. ед., причем эти изменения определяются выражениями 2 + λ и 13 — λ, где 0 ≤ λ ≤ 10.

Для каждого из возможных значений цены единицы про­дукции данного вида найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.

Решение. Обозначим через х₁ количество единиц продук­ции А, через x₂ — количество единиц продукции В. Матема­тическая модель задачи имеет вид

при ограничениях:

Область допустимых решений — многоугольник OABCD (рис. 25.2). Полагая λ = 0, L( ) = 2x₁ + 13х₂ строим (2, 13). Перемещая линию уровня по направлению , находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким об­разом, при λ = 0 _1опт(0, 11), L( ₁)_max = 143.

Если уравнение прямой имеет вид

то угловой коэффициент равен k = - А/В.

Угловой коэффициент линии уровня, перпендикулярной , при произвольном значении λ равен k = (2 + λ) / (13 – λ).

Найдем область оптимальности _1опт : _1опт будет оставать­ся оптимальным для всех λ, при которых соответствующая линия уровня находится внутри угла, образованного прямы­ми x₁ = 0 и (25.2). Угловой коэффициент прямой (25.2) k = - 2/2 = -1. По условию λ₁ = 0, λ₂ = (2 + λ) / (13 - λ) = -1, откуда λ₂ = 11/2. Решение _1опт остается оптимальным при λ [0, 11/2].

При λ = 11/2 линия уровня совпадает с прямой (25.2) и оптимальными будут все точки, лежащие на прямой (25.2), в том числе и точка В(1, 10), лежащая на пересечении прямых (25.2) и (25.3).

Оптимальное решение будет сохраняться до тех пор, пока при изменении λ линия уровня не совпадет с прямой (25.3), что будет соответствовать новому оптимальному решению _2опт. Найдем новый диапазон изменения λ: λ₁ = 11/2, λ₂ = (- 2 + λ) / (13 - λ) = -2, так как k₃ = -2. Откуда λ₂ = 8.

Получили при λ [11/2, 8] _2опт = (1, 10), L( ₂)_max =132 – 9λ.

Аналогично определяем, что при λ [8,10], _3опт = (2, 8), L( ₃)_mах = 108 – 6λ.

Таким образом, при λ = [0, 11/2] необходимо производить только 11 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (143 – 11λ) усл. ед.; при λ [11/2, 8] необходимо производить одно изделие А и 10 изделий В, при этом стоимость продукции является максимальной и равной (132 – 9λ) усл. ед.; при λ [8, 10] необходимо производить 2 изделия А и 8 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (108 – 6λ) усл. ед.

Найдем решение этой же задачи симплексным методом (табл. 25.2-25.4), для чего приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Получим λ₁ = - , так как все Δ”_j ≤ 0;

Таким образом, λ [0, 11/2], _1опт = (0, 11, 5, 0, 3), L( ₁)_max = 143 – 11λ.

Получим

Таким образом, λ [11/2, 8], _2опт = (1, 10, 2, 0, 0), L( ₂)_mах = 132 – 9λ.

Получим

Таким образом, λ [8, 10], _3опт = (2, 8, 0, 2, 0), L( ₃)_mах = 108 – 6λ.

Получили следующие оптимальные решения в зависимости от диапазона изменения λ: