Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

при ограничениях:

Двойственная задача имеет вид

при ограничениях:

ТЕОРЕМА 3. Значения переменных у_i в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влия­ния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т.е.

Примем L_i ≈ ΔL_i, b_i ≈ Δb_i, тогда ΔL_i ≈ y_i • Δb_i.

Для задачи оптимального использования сырья это уравне­ние показывает, что при изменении i-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит у_i — i-я компонента оптимального ре­шения двойственной задачи.

Если y_i мало, то значительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если y_i = 0, то при увеличении i-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают по­требности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.

Если у_i велико, то незначительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать существенное увеличение оптималь­ного дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

Переменную у_i считают некоторой характеристикой цен­ности i-го ресурса. В частности, при увеличении i-го ресурса на единицу (Δb_i = 1) оптимальный доход возрастает на y_i, что позволяет рассматривать y_i как "условную цену", оценку единицы i-го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как у_i представляет частную производную от опти­мального дохода по i-му ресурсу, то у_i характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i-го ресурса.

С помощью y_i можно определить степень влияния огра­ничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для кото­рых y_i остаются неизменными, определяются по формулам:

где x_j — значение переменной в оптимальном решении; d_ij — элементы матрицы (d_ij) = А^-1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (a_ij)_mxn.

Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле

Если Δ_j < 0, то новый вид продукции улучшает план. При Δ_j > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.

22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов

Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу из­делия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, вто­рого вида — 2, 1, 1, 1 и третьего вида — 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида равна 3 усл. ед., второго — 4 усл. ед., третьего — 2 усл. ед.

Требуется:

1) составить план производства трех видов, максимизиру­ющих прибыль;

2) определить дефицитность сырья;

3) установить размеры максимальной прибыли при изме­нении сырья А на 6 т, Б — на 3 т, В — на 2 т, Г — на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;

4) оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.

Решение. 1. Обозначим через = (x₁, x₂, x₃) план про­изводства изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь вид табл. 22.3.

Из таблицы следует

Согласно теоремам двойственности

2. Наиболее дефицитным является сырье типа В, для кото­рого двойственная оценка у₃ = 2. Менее дефицитным является сырье вида Б, для которого у₂ = 1/2. Совсем не дефицитным является сырье A (y₁ = 0).

Для определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базис­ных переменных в оптимальном решении системы ограниче­ний. Базисными переменными в оптимальном решении явля­ются x₁, x₂, х₃, x₄. Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений имеет вид

Тогда обратная матрица для матрицы А следующая:

Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:

Интервал устойчивости оценок по отношению к первому огра­ничению:

Аналогично определим интервалы устойчивости оценок по отношению к ограничениям остальных видов сырья:

Интервалы устойчивости оценок по отношению ко второму ограничению:

к третьему ограничению:

к четвертому ограничению:

3. Изменения сырья согласно условиям задачи на +6, -3, +2, +2 т приводят к ограничению запаса сырья до 24, 13, 10, 8 т соответственно. Поскольку эти изменения находятся в пре­делах устойчивости оценок, на что указывают интервалы, то раздельное их влияние на прибыль определяется по формуле

тогда

Суммарное влияние на прибыль:

Если изменение сырья не находится в пределах устойчивости оценок, то необходимо найти новые условные оценки, т.е. ре­шить задачу симплексным методом с изменением количества сырья соответствующих видов.

4. Для оценки целесообразности введения в план производ­ства фирмы четвертого вида изделий используем формулу

Так как прибыль превышает затраты, то введение в план про­изводства четвертого вида изделий целесообразно.

УПРАЖНЕНИЯ

Для следующих задач составить математические модели двой­ственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной.

22.1. L( ) = x₁ + 3x₃ + 3x₄ → min при ограничениях:

22.2. L( ) = 2х₁ + х₂ – 3x₃ + х₄ → max при ограничениях:

22.3. L( ) = -х₁ + x₂ + 6x₃ — х₄ → min при ограничениях:

22.4. L( ) = -3x₂ + х₃ – х₄ → max при ограничениях:

22.5. L( ) = -3x₁ + x₂+ 3x₃ – 4x₄ → min при ограничениях:

Составить математическую модель двойственных задач и по ее решению найти оптимальное решение исходной.

22.6. L( ) = l,5x₁ + 2х₂ → max при ограничениях:

22.7. L( ) = x₁ - 2x₂ + x₄ → minпри ограничениях:

22.8. L( ) = -2x₁ + х₂ → min при ограничениях:

22.9. Для производства трех изделий А, В и С используются три вида сырья. Каждый из них используется в объеме, не пре­вышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на одно изделие и цена единицы изделий приведены в табл. 22.4.

Определить план выпуска изделий, обеспечивающий полу­чение максимального дохода.

Составить для данной задачи двойственную и найти:

1) оптимальный план двойственной задачи;

2) интервалы устойчивости двойственных оценок;

3) увеличение максимального дохода при увеличении коли­чества сырья 2-го и 3-го видов на 80 и 160 кг соответ­ственно и при уменьшении количества сырья 1-го вида на 40 кг. Оценить раздельное и суммарное влияние этих изменений;

4) целесообразность введения в план производства 4-го из­делия, нормы затрат сырья на одно изделие которого составляют 2, 4 и 6 кг, а цена изделия равна 18 усл. ед.;

5) оптимальные планы исходной и двойственной задач, ес­ли количество сырья 1, 2 и 3 равно 140, 250 и 240 кг соответственно.