Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.

Прибыль от производства разных видов товара

Пусть x₁, x₂, …, x_т. — количества производимых т разно­видностей товара, а их цены — соответственно P₁, P₂, …, P_m (все P_i — постоянные величины). Пусть затраты на производ­ство этих товаров задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локально­го экстремума функции многих переменных (8.11) при x_i ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений от­носительно переменных х_i

Система уравнений (8.12) реализует известное правило эконо­мики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой сис­темы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения реше­ния системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издер­жек и может быть достаточно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производятся два ви­да товаров, обозначим их количества через x и у. Пусть P₁ = 8 и Р₂ = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х² + ху + у² — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при x₁ = х, x₂ = y прибыль является функцией двух перемен­ных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

решением которой является точка (2,4). Поскольку

то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен П_mах = 28.

Оптимальное распределение ресурсов

Рассмотрим типичную задачу оптимального распределе­ния ресурсов на примере функции выпуска и = а₀ху² при до­пущении, что функция затрат на ресурсы x и у линейна, т.е. имеет вид и = Р₁х+Р₂у, где P₁ и Р₂ — соответствующие цены на эти факторы.

В точке F(x₀, y₀), определяющей оптимальное определение ресурсов, линии уровня функций выпуска и затрат касают­ся (рис. 8.5). Эти линии определяются соответственно уравне­ниями a₀xy² = C, Р₁х + Р₂у = А, или у = (b/x)^1/2, у = —(Р₁/Р₂)х + А/Р₂, где C > 0 и A > 0 — постоянные числа, b =C/a₀. Условие касания этих линий дается уравнением

Из этого уравнения определяется значение x₀ = b^1/3(P₂/2P₁)^2/3. Тогда из уравнения линии уровня функции выпуска определя­ется значение у₀ = (b/x₀)^1/2 = b^1/3(2P₁/P₂)^1/3. Отсюда полу­чаем, что оптимальное распределение ресурсов х₀/у₀ должно быть произведено в отношении Р₂ : 2P₁.

Максимизация прибыли производства продукции

Функция прибыли обычно вычисляется по формуле

где F(K, L) — производственная функция, Р — цена продук­ции, W и R — соответственно факторные цены на труд и ка­питальные затраты, L и К — соответственно затраты трудо­вых ресурсов и капитала. Рассмотрим две задачи, связанные с определением максимума прибыли.

1. Точка (K₀, L₀) называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли (8.13) принимает максимальное зна­чение. Найти предельную норму замещения производственной функции F при оптимальном плане.

В точке локального экстремума первые производные функ­ции прибыли П(K, L) равны нулю, откуда имеем систему двух уравнений

Как известно, предельная норма замещения вычисляется по формуле μ = -F'_L / F'_K, откуда при оптимальном плане полу­чаем μ = -W/R.

2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли (8.13), если F(K, L) = 2(K L)^1/3.

В данном случае функция прибыли имеет вид

Условия локального экстремума приводят к системе двух ли­нейных алгебраических уравнений относительно координат К₀и L₀ оптимального плана

Отсюда получаем координаты оптимального плана:

Подстановка этих величин в функцию прибыли дает ее макси­мум:

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппро­ксимации, или приближенного восстановления функции по из­вестным ее значениям в ряде точек. На практике часто возни­кает задача о наилучшем подборе эмпирических формул, поз­воляющих представить в аналитической форме данные статис­тических наблюдений, измерений и т.д. Задача формулируется следующим образом: имеются данные наблюдений в п точках

некоторой величины и и получены соответствующие значения

Нужно подобрать функцию определенного вида и = f(М), что­бы она по возможности наиболее точно отражала общую зави­симость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измерения {М_i}.

Таким образом, задача нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1) определение общего вида зависимости f(M) или вида функции f с точностью до постоянных параметров (коэффи­циентов), входящих в нее;

2) неизвестные коэффициенты подбираются таким образом, чтобы в точках наблюдений (8.14) подобранная функция как можно лучше отвечала данным измерений (8.15).

Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функций

т.е. эта формула должна иметь вид

где

— неизвестные параметры эмпирической функции.

Второй этап состоит в определении неизвестных парамет­ров (8.18). Их следует выбрать такими, чтобы значения функ­ции (8.17) по возможности наименее всего отклонялись в точ­ках (8.14) от измеренных значений (8.15).

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов погрешностей (отклонений) δ_i (рис. 8.6) функции (8.17) в точках (8.14) как функции от т аргумен­тов — неизвестных параметров:

Для установления точки минимума функции (8.19) т перемен­ных (8.18) нужно найти частные производные этой функции по всем т аргументам и приравнять их к нулю. Отсюда полу­чается система т линейных алгебраических уравнений отно­сительно т неизвестных параметров (8.18)

Коэффициенты и свободные члены уравнений этой системы определяются по формулам

Поскольку функция (8.19) является положительной, выпуклой вниз и неограниченной в евклидовом пространстве E^m, то ре­шение системы уравнений (8.20) представляет собой коорди­наты точки ее локального минимума.

При обработке данных экономической статистики наиболее распространенным является приближение эмпирической фор­мулой в виде линейной функции одной переменной (например, это широко используется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек измерения (8.14) представляет собой на­бор значений аргумента x₁, х₂, ..., x_п, а совокупность функций (8.16) состоит из двух функций: x и 1. Эмпирическая формула (8.17) имеет вид

Неизвестные параметры а и b определяются из системы двух линейных уравнений

в которой коэффициенты и свободные члены выражаются фор­мулами

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций.

Построить линии уровня функций.

Найти частные производные от функций.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.29. Доказать, что для функций, указанных в задачах 8.23 и 8.24, модуль градиента равен единице во всей области опреде­ления.

Найти частные производные второго порядка.

Найти экстремумы функций.

8.43. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π.

8.44. Цены на два вида товаров равны соответственно Р₁ = 32 и P₂ = 24 денежным единицам. Определить, при каких коли­чествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С = х² + 2ху + у².

8.45. В результате эксперимента для пяти значений аргумента x получены пять значений величины и:

Методом наименьших квадратов найти функциональную зави­симость между х и и в виде линейной функции и = ах + b.