Указания к решению задач контрольной работы №2

К задаче 2.1

Проверка: .

К задаче 2.2

Обозначим , тогда данное уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно . Его корни , следовательно, корнями z исходного уравнения являются числа .

Числа сопряженные, поэтому модули у них одинаковые, равные , а аргументы отличаются знаком:

Используя формулу

где , находим корни:

или

К задачам 2.3

а) Сколькими способами могут распределиться 15 перенумерованных бильярдных шаров в 6 различных лузах?

Число распределений перенумерованных шаров в 6 лузах равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, то есть – каждый шар может попасть в любую из 6 луз и такой выбор надо сделать 15 раз.

Формула числа способов размещения n различных предметов по m различным ящикам

б) Сколькими способами могут распределиться 15 одинаковых шаров в 6 различных лузах?

В этой задаче размещаемые шары одинаковы, поэтому число распределений одинаковых шаров в 6 лузах равно числу сочетаний с повторениями из 6 элементов по 15

Формула числа способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам

в) Сколькими способами могут распределиться 15 шаров, из которых 5 белых, 8 черных и 2 красных в двух различных лузах; в шести различных лузах?

Видим, что белые шары могут разместиться в 2 лузах 6 способами – в первую лузу может не попасть ни одного белого шара, 1, 2, 3, 4, все 5 шаров. Точно так же черные шары могут распределиться 9 способами, а красные – 3 способами. Так как шары каждого цвета попадают в лузы независимо от шаров другого цвета, то по правилу произведения получаем способов распределения шаров.

Формула числа распределения предметов одного вида, предметов другого вида, …, предметов k-го вида (предметы одного и того же вида неотличимы друг от друга) по двум различным ящикам

Число способов распределения этих же шаров в 6 лузах (число луз больше двух) равно

Формула числа распределения предметов одного вида, предметов другого вида, …, предметов k-го вида (предметы одного и того же вида неотличимы друг от друга) по m различным ящикам

г) Сколькими способами могут распределиться 15 перенумерованных шаров по 3 лузам, чтобы в первой и второй лузах оказалось по 6 шаров, а в третьей 3 шара?

Разложим все шары в ряд по порядку и надпишем над каждым шаром номер лузы, в которую его кладут. Получившаяся последовательность номеров луз образует перестановку с повторениями, состоящую из шести чисел 1, шести чисел 2 и трех чисел 3. Каждая раскладка шаров по лузам определяет такую перестановку. И, наоборот, каждая такая перестановка определяет свой способ раскладки – в первую лузу попадают те шары, над которыми стоит 1, во вторую – над которыми стоит 2 и в третью – над которыми стоит 3. Тем самым устанавливается соответствие между перестановками с повторениями и раскладкой шаров по лузам. Поэтому число различных раскладок по лузам равно числу соответствующих перестановок с повторениями

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t>в?™3!</m:t></m:r></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t>=210210.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Формула числа способов распределения разных предметов по m различным ящикам так, чтобы в первый ящик попало предметов, во второй – предметов, …, в m-й – предметов

К задаче 2.4

Для функции составить таблицу истинности, написать для неё совершенную ДНФ и совершенную КНФ.

Используем основные функции дискретной математики для составления таблицы истинности:

Конъюнкция (функция и)	Дизъюнкция (функция или)	Импликация (следование)	Сложение по модулю 2
Эквивалентность (подобие)	Штрих Шеффера (отрицание конъюнкции)	Стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции)	Отрицание

Составим совершенную ДНФ и совершенную КНФ по полученной таблице.

Совершенную ДНФ составляем по единицам таблицы истинности, причем, если , то, если – в соответствующей конъюнкции совершенной ДНФ берем , а если – в совершенной ДНФ берем . Аналогично поступаем и с другими переменными, поэтому совершенная ДНФ для данной функции имеет вид:

Совершенную КНФ составляем по нулям таблицы истинности, то есть, если и , то в соответствующей дизъюнкции берём , а если , то . Таким образом, совершенная КНФ для данной функции имеет вид:

К задаче 2.5

Для орграфа найдем кратчайший путь от x к y с помощью алгоритма Дейкстры:

y

v1

v3

x

v2

v4

v5

Работу алгоритма представим в виде таблицы, элементами на пересечении i-й строки и j-го столбца которой являются метки j-й вершины после i-го шага. Постоянные метки помечены знаком «*». В скобках около метки каждой вершины указано, из какой вершины она была помечена.

Вершины Шаги алгоритма	x	v1	v2	v3	v4	v5	y
	0*	∞	∞	∞	∞	∞	∞
	0*	7(x)	2*(x)	∞	∞	∞	∞
	0*	5*(v2)	2*(x)	10(v2)	7(v2)	∞	∞
	0*	5*(v2)	2*(x)	10(v2)	6*(v1)	∞	15(v1)
	0*	5*(v2)	2*(x)	9*(v4)	6*(v1)	13(v4)	15(v1)
	0*	5*(v2)	2*(x)	9*(v4)	6*(v1)	11*(v3)	13(v3)
	0*	5*(v2)	2*(x)	9*(v4)	6*(v1)	11*(v3)	12*(v5)

Подробно опишем, как вычисляются метки вершин.

Шаг 0. В начальный момент вершина x имеет постоянную метку
, а все остальные вершины орграфа – временные метки , что соответствует тому, что в орграфе могут быть вершины, недостижимые из x.

Шаг 1. Из вершины x выходят дуги в вершины и . Пересчитываем метки этих вершин и заполняем вторую строку таблицы:

Метка вершины становится постоянной, равной 2.

Шаг 2. Из вершины выходят дуги в еще неупорядоченные вершины и . Пересчитываем их временные метки:

Метка из вершины становится постоянной, равной 5.

Шаг 3. Из вершины выходят дуги в еще неупорядоченные вершины , и y. Тогда

Метка вершины становится постоянной, равной 6.

Шаг 4. Из вершины выходят дуги в еще неупорядоченные вершины и . Тогда

Метка вершины становится постоянной, равной 9.

Шаг 5. Из вершины выходят дуги в неупорядоченные вершины и y. Пересчитываем временные метки этих вершин и заполняем соответствующую строку таблицы:

Метка вершины становится постоянной, равной 11.

Шаг 6. Из вершины выходит дуга в неупорядоченную вершину y:

Заполняем последнюю строку таблицы. На этом шаге упорядочиваем последнюю неупорядоченную вершину y.

Итак, длина кратчайшего пути из x в y равна 12. Выписывая по порядку вершины, из которых помечалась вершина y и предшествующие ей вершины, получаем . Инвертируя данную последовательность, получаем кратчайший путь из x в y: .

Контрольная работа №3

Задача 3.1.Вычислить пределы данных функций.

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г)

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 3.2.Определить то значение параметра А, для которого функция будет непрерывной. Сделать чертеж.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 3.3.Найти производные функций.

1. а) ; б)

в) ; г)

2. а) ; б) ;

в) ; г)

3. а) ; б) ;

в) ; г)

4. а) ; б) ;

в) ; г)

5. а) ; б)

в) ; г)

6. а) ; б)

в) ; г)

7. а) ; б) ;

в) ; г)

8. а) ; б)

в) ; г)

9. а) ; б) ;

в) ; г)

10. а) ; б)

в) ; г)

Задача 3.4.Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 3.5.Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.