Подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента

(ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента

Рассматривается длинная прямолинейная цилиндрическая тонкостенная труба (рис. 2.21) с , . Труба нагружена внутренним давлением , по ее торцам приложены силы и крутящие моменты .

Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x, y, z: ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.

Сила вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)

.

Рис. 2.22. Напряжения в трубе от продольной силы

Рис. 2.23. Напряжения в трубе от внутреннего давления

Здесь – площадь поперечного сечения тонкостенной трубы.

Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение в продольных сечениях трубы:

.

Рис. 2.24. Напряжения в трубе от крутящего момента

Напряжения положительны при . Случай отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.

Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):

.

Они направлены так, чтобы уравновесить пару сил М.

По толщине трубы напряжения распределены равномерно. Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы: , .

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.

Условие задачи

Рис. 2.25. Напряженное состояние точки трубы

Труба с радиусом сечения м толщиной см загружена продольной растягивающей силой кН, внутренним давлением МПа и крутящим моментом . Материал трубы – чугун с такими характеристиками: МПа, МПа, . Нормативный коэффициент запаса прочности .

Требуется:

1) найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы;

2) найти главные напряжения и положения главных площадок;

3) проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности;

4) показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического.

В расчетно-графической работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7.

Решение

Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок.

Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как , то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные формулы применимы.

Нормальное напряжение от продольного растяжения силой

положительно.

Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением ,

МПа

также положительно.

Касательное напряжение, вызванное моментом , по модулю равно

.

Принимая во внимание направление крутящего момента (см. рис. 2.24) и учитывая правило знаков для касательного напряжения при плоском напряженном состоянии, получаем .

Теперь изобразим найденное напряженное состояние точки трубы в виде плоского рисунка, учтя правила знаков для напряжений. Для последующей проверки прочности вычислим главные напряжения:

Главные напряжения, пронумерованные должным образом,

, , .

Тангенс угла наклона главной площадки

.

Отсюда два главных угла

.

Соответствие угла главным площадкам (1 или 2) устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку вычисленных значений главных напряжений и главных направлений можно выполнить графически, построив круг напряжений Мора. Построение круга напряжений описано при решении задачи № 7.

Материал является хрупким (чугун), поэтому с целью проверки прочности используем вторую теорию прочности или теорию прочности Мора.

Согласно второй теории прочности

,

значит, прочность обеспечена.

Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:

Рис. 2.26. Вероятное направление трещин

.

Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси трубы под углом . Она показана на рис. 2.26, где ось – продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва на рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть показано и на самой конструкции.

Согласно пятой теории прочности (теории Мора)

,

то есть прочность также обеспечена. Вычислим фактический коэффициент запаса прочности:

.

КРУЧЕНИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл.5 (§ 5.1–5.4), гл. 11 (§ 11.5);

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 6 (§ 27, 29–30, 32);

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 6 (§ 6.1–6.4, 6.6, 6.7).

Основные понятия и формулы

При кручении поперечные сечения стержня поворачиваются вокруг его продольной оси, а продольные волокна при этом искривляются, превращаясь в пространственные кривые. Кручение вызывается парами сил, действующими в плоскости поперечных сечений. В поперечных сечениях стержня возникает одно внутреннее усилие - крутящий момент М_к. Стержень, работающий на кручение, принято называть валом.

Рис. 3.1. Правило знаков для крутящего момента

Крутящие моменты в сечениях определяются, как и другие виды усилий, методом сечений. Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно продольной оси стержня. Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 3.1).

Напряженное состояние в любой точке поперечного сечения при кручении является чистым сдвигом, и в точках поперечного сечения возникают касательные напряжения.

Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения с радиусом R (или кольцевого сечения с внешним радиусом R) определяются по формуле

, (3.1)

Рис. 3.2. Распределение касательных напряжений в круглом сечении

где - расстояние от центра до точки, в которой мы определяем t. Эти напряжения направлены перпендикулярно радиусу, соединяющему центр круга с рассматриваемой точкой. Эпюра распределения касательных напряжений на любом диаметре будет иметь вид, показанный на рис. 3.2. Максимальные касательные напряжения, как следует из формулы (3.1), действуют в точках на контуре сечения и они равны

, (3.2)

где – полярный момент сопротивления.

Деформацию стержня круглого (кольцевого) сечения при кручении характеризует угол закручивания поперечного сечения на участке длиной (рис. 3.3)

. (3.3)

Относительная величина этого угла (на единицу длины) называется погонным углом закручивания

. (3.4)

Рис. 3.3. Деформация стержня при кручении

Эпюры распределения касательных напряжений в стержнях прямоугольного сечения показаны на рис. 3.4. Максимальные касательные напряжения действуют в точках, расположенных по середине длинной стороны сечения. Они равны

. (3.5)

Напряжения в точках по середине короткой стороны

Рис. 3.4. Распределение касательных напряжений в прямоугольном сечении

. (3.6)

Погонный и полный углы закручивания для стержней прямоугольного сечения определяются по формулам

; . (3.7)

Геометрические характеристики сечения, входящие в формулы (3.1)–(3.7), можно найти следующим образом:

Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления:

* для круглого сечения

, ; (3.8)

* для кольцевого сечения

; . (3.9)

Здесь - отношение радиусов внутреннего и внешнего контуров кольца.

Для стержня прямоугольного сечения геометрическая характеристика жесткости

(3.10)

и момент сопротивления кручению

, (3.11)

где - меньшая сторона прямоугольного сечения, а коэффициенты , , в формулах (3.6), (3.10), (3.11) определяются в зависимости от отношения сторон сечения по таблицам, имеющимся в справочной литературе, например в [3, § 6.6].

Модуль сдвига в формулах (3.3) и (3.7)

. (3.12)

Целью расчета вала на кручение, как правило, является удовлетворение двум условиям: прочности и жесткости. Условие прочности в опасной точке вала при кручении записывается так:

, (3.13)

где [t] берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:

* из второй теории прочности

; (3.14)

* из теории Мора

, (3.15)

где .

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:

* по третьей теории прочности

, (3.16)

* по четвертой теории прочности

. (3.17)

Условие жесткости вала при кручении – это условие, ограничивающее деформации стержня, а именно:

, (3.18)

где – допускаемый погонный угол закручивания, величина которого нормируется.

Удовлетворяя этим двум условиям, можно либо подбирать размеры сечения, либо определять допускаемую нагрузку на стержень.

Примеры решения задач

ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ (ВАЛА),