Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Числовые характеристики: Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Пример плотности распределения:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru и Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.

Функция Лапласа Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru . Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru в заданный интервал Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru на величину Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru от математического ожидания (по модулю).

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru .

Функцией распределения случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru мы назвали функцию Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru . Основные свойства этой функции заключены в теореме:

Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , то Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru ;

(F2)

cуществуют пределы Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru и Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева: Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

27. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.

Говорят, что задана дискретная случайная величина Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , если указано конечное или счетное множество чисел

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

и каждому из этих чисел Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru поставлено в соответствие некоторое положительное число Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , причем

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Числа Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru называются возможными значениями случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , а числа Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru - вероятностями этих значений ( Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru ).

Таблица

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

называется законом распределения дискретной случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru .

Если возможными значениями дискретной случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

то говорят, что случайная величина Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru имеет биномиальный закон распределения:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru Если возможными значениями дискретной случайной величины Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

то говорят, что случайная величина Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

где Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru ;

Закон распределения Пуассона:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

где

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru , Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru

где Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) - student2.ru .

Наши рекомендации