Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Плотность распределения:
Числовые характеристики: , ,
Пример плотности распределения:
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.
Функция Лапласа .
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).
.
Функцией распределения случайной величины мы назвали функцию . Основные свойства этой функции заключены в теореме:
Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:
(F1)
она не убывает: если , то ;
(F2)
cуществуют пределы и ;
(F3)
она в любой точке непрерывна слева:
27. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.
Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел
и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем
Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений ( ).
Таблица
называется законом распределения дискретной случайной величины .
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины .
Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
то говорят, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения:
Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле
то говорят, что случайная величина имеет гипергеометрический закон распределения.
Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:
геометрический
где ;
Закон распределения Пуассона:
где
- положительное постоянное.
Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при , , . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:
где .