Функция, ограниченная на интервале и в точке

Определение. Ф-ция у=f(x) называется ограниченной на (а;в), если существует такое число М>0, что для всех х из (а;в),выполняется условие: | f(x) | < M

Функция у=f(x) наз ограниченной в точке А при х®а если существует ∆-окрестность этой точки в которой ф-ция ограничена

Теорема о связи функции, имеющей предел при х®а

Теорема. Если функция f(x) при х → а имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой

окрестности точки а.

7. Бесконечно малые функции при х®а и при х®¥. Геометрическая иллюстрация. Доказать теорему о связи бесконечно большой при х®а функцией и бесконечно малой при х®а функцией.

8. Основные теоремы о бесконечно малых функциях (доказать одну из них).

9. Признаки существования предела функции (доказать один из них).

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями и , т.е. выполняется неравенство "х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

=>

10. Основные теоремы о пределах функции (доказать одну из них).

1.10. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют

конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Теорема 3.Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда или , т.е. где М = e + ïАïТеорема доказана.

11. Односторонние пределы функции при х®а. Доказать необходимое и достаточное условия существования предела функции в точке.

Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а; означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

будем называть левосторонним пределом функции при слева, -это правосторонний предел функции.

Теорема. Функция у = f(х) имеет в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее и .Tогда = =

12. Непрерывность функции в точке. Приращение функции в точке. Два определения непрерывностей функции в точке. Доказать, что функция непрерывная в точке в смысле 1-го определения будет непрерывной и в смысле 2-го определения и наоборот.

13. Непрерывность в точке суммы, произведения, частного функций, непрерывных в точке (доказать одну из теорем).

14. Доказать теорему о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Доказать непрерывность функции у = sin х. Доказать, что для непрерывной функции в точке знаки предела и функции можно менять местами.

15. Классификация точек разрыва функции. Привести примеры. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Классификация точек разрыва функций.Если в точке х=х0 не выполняется хотя бы одно из требований, то эта точка будет точкой разрыва.

1 рода – В таких точках f(x) определена, но lim(xàx0+)<>lim(xàx0-);

Пример: y={x,x<=1; -x, x>1.

Устранимые точки разрыва первого рода: Эти точки возникают 1) f(x0) – не определена, 2) lim(xàx+) f(x)=lim(xàx0-) f(x)=f(x0) – доопределяем.

Пример: y=sinx/x.

2 рода – Т. х=х0 является точкой разрыва 2го рода, если lim(xàx0-)=∞; Пример: y=1/x.

Классификация т-ки разрыва

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.

а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:

1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти)

Док-во использует опр-ние на языке e и d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 ½f(x)-f(x0)½<e при ½х-х0½<d ~ f(x0)-e<f(x)<f(x0)+e в окрестности в т-ке х0.

II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)¹0 то $ окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.

III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B причем A¹B => CÎ(A,B) $ cÎ(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).

IV)Теорема о прохожд. непр. ф-циичерез 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b).

16. Доказать первый замечательный предел. Привести примеры.

Обычно задачи на первый замечательный предел входят в стандартный перечень заданий типовых расчетов курса высшей математики. Разобраться в этом несложно, однако потребуются кое-какие знания из курса элементарной школьной тригонометрии. Начнем с определения.

Первымзамечательным пределом именуют . Известны также и следствия из первого замечательного предела:

17. Доказать второй замечательный предел. Привести примеры. Натуральные логарифмы и их связь с десятичными логарифмами.

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.

Пример.

Вычислить предел

18. Сравнения бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Основные эквивалентности. Привести примеры.

1.18. БМФ.lim(при xà∞) f(x)=0 – БМФ!

1] Две БМФ, при xà∞ f(x) и φ(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если lim(при xà∞) f(x)/φ(x)=const.

2] БМФ f(x) при xà∞ называется бесконечно малой более высокого поярдка малости, чем БМФ φ(x) при xà∞, если предел lim(xà∞) f(x)/φ(x)=∞.

3] БМФ f(x) при xà∞ называется БМФ более низкого порядка малости, чем БМФ φ(x) при xà∞, если предел lim(xà∞) f(x)/φ(x)=∞.

4] Две БМФ при xà∞ называются несравнимыми, если придела lim(при xà∞) f(x)/φ(x) не существует.

5] Две БМФ называются эквивалентными при xà∞, если lim(при xà∞) f(x)/φ(x)=1;

ТЕОРЕМА 1:Если БМФ f(x)~f1(x) при xà∞, а БМФ φ(x)~φ1(x), при xà∞ и если существует lim f1(x)/φ1(x), то существует предел отношения: lim(при xà∞) f(x)/φ(x) = lim(при xà∞) f1(x)/φ1(x). Дано: f~f1=> lim(при xà∞) f(x)/f1(x)=1; φ(x)~φ1(x) => lim(при xà∞) φ(x)/φ1(x) => lim(при xà∞) φ(x)/φ1(x)=1; из всего этого => lim f1(x)/φ1(x) – существует. Док-ть: существует lim(при xà∞) f(x)/φ(x)=lim(при xà∞) f1(x)/φ1(x). Док-во: lim(при xà∞) f(x)/φ(x)=lim(при xà) f(x) f1(x) φ1(x)/ φ(x) f1(x) φ1(x)= =lim(при xà∞) f(x)/f1(x) *1/φ(x)/φ1(x) * f1(x)/φ1(x)=lim(при xà∞) f1(x)/φ1(x).

ТЕОРЕМА 2:Сумма БМФ эквивалентна бесконечно малой низшего порядка. Дано: f(x)+φ(x)+g(x)àБМФ при xà∞; lim(xà∞) φ(x)/f(x)=0, lim(xà∞) g(x)/f(x)=0; Док-ть: f(x)+φ(x)+g(x)~f(x)-??? Док-во: lim(xà∞) (f(x)+φ(x)+g(x))/f(x)=lim(xà∞)1 + lim(xà∞) φ(x)/f(x) + lim(xà∞) g(x)/f(x).

19. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

1) a ~ a,

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a₁ и b ~ b₁ и , то и или .

Следствие: а) если a ~ a₁ и , то и

б) если b ~ b₁ и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

[an error occurred while processing this directive]

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная как скорость изменения функции. Привести примеры. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.