От нагнетательной скважины к эксплуатационной
Пусть сток О1 и источник О2 равнодебитны, т. е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты М; О1О2 = 
. Исследуем поток от источника к стону.
Проведем ось Ох через точки О1 и О2 так, чтобы точка О1 находилась от начала координат О на расстоянии 
, а точка О2 на расстоянии 
(рис. 19).
По формуле (VII.2) определим потенциальную функцию сложного потока. По принятому здесь обозначению для дебита стока запишем: 
; для дебита источника 
. После подстановки значений 
и 
в формулу (VII.2) получим:
(VII.7)
где 
и 
расстояния любой точки пласта до стока и источника соответственно.
Уравнение изобар (VII.4) в данном случае будет следующим:
 |
(VII.8)
Каким кривым соответствует уравнение (VII.8)? Чтобы ответить на этот вопрос, выразим прежде всего и через координаты точки М (х, у) в соответствии с рис. 19.
(VII.9)
Подставляя значения и из (VII.9) в уравнение (VII.8), получим: 
(VII.10)
Уравнение (VII.10) характеризует эквипотенциальные линии изобары.
Запишем уравнение (VII.10) в таком виде:
Рис. 19. Схема стока О1 и источника О2.
(VII.11)
Где зависимость постоянной С1 от радиуса окружности В удобно представлять в таком виде
или (VII.11а)
Из уравнения (VII.11) видно, что эквипотенциальные линии — окружности, центры которых расположены на оси Ох (в уравнении отсутствует член, содержащий первую степень у).
Итак эквипотенциальные линии (изобары) при совместном действии одной эксплуатационной и одной нагнетательной равнодебитных скважин в неограниченном пласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин. Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус - прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности — по другую (рис. 20). Семейство линий тока в данном случае есть семейство окружностей, ортогональных изобарам. Все линии тока проходят через стон и источник. Центры всех окружностей линии тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоном и источником пополам (см. рис. 20).
Таково фильтрационное поле, поддерживаемое стоном и источником одинаковой мощности.
Выведем формулу массового дебита М эксплуатационной и нагнетательной скважин при совместном их действии.
для вывода формулы М следует принять граничные условия. Граничными контурами в данном случае являются контуры обеих скважин.
Предположим, что на контуре эксплуатационной скважины О1 радиусом 
потенциальная функция 
принимает значение 
, определяемое в зависимости от давления с точностью до произвольной постоянной, а на контуре нагнетательной скважины О2 того же радиуса 
.
Рис. 20. Фильтрационное поле источника и стока.
Воспользуемся формулой (VII.11). На контуре эксплуатационной скважины имеем 
(см. рис. 19); на контуре нагнетательной скважины
(VII.12)
Вычитая почленно из второго равенства (VII.12) первое и решая полученное уравнение относительно М, найдем, что
(VII.13)
Определим массовую скорость фильтрацию в любой точке пласта М (см. рис. 19). Если бы в пласте действовал только один стон О1 с дебитом, модуль которого равнялся М, мы получили бы, согласно
формуле (IV.18), следующее выражение модуля вектора массовой скорости 
:
(VII.14)
если бы действовал только один источник О2 с дебитом М, можно было бы записать:
(VII.15)
Суммируя по принципу суперпозиции векторы массовых скоростей и 
вычислим модуль массовой скорости в данной точке пласта 
(см. рис. 19).
(VII.16)
Но величина корня квадратного правой части (VII.16) есть расстояние между стоком и источником О1О2 = ; следовательно, фор мулу (VII.16) перепишем так:
(VII.17)
Для поддержания в нефтяной залежи пластового давления, обеспечивающего высокую отдачу нефти пластом, на промыслах широко используется способ нагнетания воды в пласт через нагнетательные скважины.
Вычислим для однородной несжимаемой жидкости время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами т. е. по оси Ох.
для несжимаемой жидкости равенство (VII.17) можно записать так:
или для частицы D, движущейся по оси Ох от Оy к О1 (см. рис. 19).
 |
(VII.18)
где х-абсцисса частицы D, движущейся по оси Ох.
Если начало координат поместим в стоке О1, то применительно к частице D будем иметь:
Подставляя эти значения и в уравнение (VII.18), разделяя в нем переменные и интегрируя, получаем:
(VII.19)
Время Т прохождения частицей расстояния О1О2 = определится из (VII.19), если принять х = 0, х0 = 2а:
(VII.20)
Общий объем внедренной в пласт воды за время Т равен 
где 
— обводненная площадь. Этот объем воды можно подсчитать также по формуле (VII.20):
Приравнивая оба выражения объема, найдем обводненную площадь за время Т:
(VII.21)
По формулам (VII.19) и (VII.20) нетрудно установить, что за время Т, за которое одна частица воды пройдет расстояние от нагнета тельной скважины до эксплуатационной, а другая частица, вошедшая в пласт извне одновременно с первой, но движущаяся в
положительном направлении оси Ох, пройдет расстояние вдвое меньшее, т. е. равное 
. Таким образом, площадь, обводнившаяся к моменту времени Т, вытянута в сторону эксплуатационной скважины.
Итак, мы исследовали поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной. Исследование потока в случае двух скважин — одной эксплуатационной и одной нагнетательной в неограниченном пласте служит основой изучения нерадиального плоского потока в случаях одной и многих скважин в пласте, границы которого с областью питания находятся на конечном расстоянии от скважины. Приведенный же способ определения дебита будет применяться и в последующих задачах, но без подробных вычислений.