Дифференциальное уравнение линии балки (изогнутой оси)
В инженерной практике помимо расчета прочности проводятся расчеты на жесткость.
Деформация характеризуется прогибом и углом поворота сечения
Искаженная картинка деформации при плоском изгибе
θ – Угол поворота сечения
y = OO’ – прогиб
ymax = AA’
θmax = φ
При изгибе ось балки не меняет своей длины, все расчеты ведутся в область упругой деформации, сечение остается плоским
Прогибом называется линейное перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки.
Угол поворота сечения – это угловое перемещение, на котором поворачивается сечение по отношению к своему начальному положению.
l – Длина пролета (расстояние между двумя соседними балками)
y = f(z)
 |
Условимся OY всегда направлять вверх, а знак момента ставить правилу сжатого волокна
Изогнутая ось балки, получаемая в результате плоского изгиба, описываемая уравнением четвертого порядка.
Полные дифференциальные зависимости при изгибе.
Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки.
Для получения дифференциального уравнения изогнутой оси уравнения прогибов и уравнения для поворота сечения необходимо провести интегрированные уравнения
C, D – постоянные интегрирования.
Граничные условия записываются по условию закрепления.
Для консольных балке в заделке y=0, θ=0;
Для балок в опорах y=0
Если балка имеет более одного участка нагружения, то при интегрировании на каждом из них возникает 2 постоянные (C,D), которых находят из граничных условий и условий сопряженных соседних участках.
Пример 1.
Max прогиб возникает в точке приложения силы и обозначения f, данный метод имеет ограниченное применение из-за неудобства нахождения const, если в балке более одного участка нагружения. На каждом участке свои const C и D.
Помимо граничных условий требуется записывать условие сопряжения по соседним участкам.
Пример 2
Метод начальных параметров.
а) M1; M2;… Mn
При принятом порядке интегрирования, при условии, что все координаты отсчитываются от общего начало координат, const C и D будут на всех участках одинаковы и могут быть заменены через увеличенные в EIx раз прогиб y0 и угол поворота θ0 в начале координат.
y0,θ0 - начальные параметры представляют собой перемещения в начальных координатах.
а) тогда общее уравнение упругой линии балки выглядит так:
б) уравнение погиба
Потенциальная энергия упругой деформации стержня в общемм случае нагружения.
- безразмерные величины, характеризует сечение (геометрию сечения).
А) прямоугольное сечение: 
;
Б) сплошное круглое сечение: 
;
В) для тонкостенного круглого профиля (труба): 
.
 |
Формула справедлива, когда жесткость стержней постоянна.