Основные содержательные линии курса
Нумерация чисел
Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам: однозначные числа, двузначные числа, трехзначные числа, числа в пределах класса тысяч, числа в пределах класса миллионов.
Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, согласно которому натуральное число возникает как характеристика класса равномощных конечных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях "больше", "меньше", "равно", "не равно" как между множествами, так и между соответствующими им числами.
Изучение концентра однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием и знакомством с началом натурального ряда, свойствами этого ряда. В дальнейшем происходит постепенное расширение множества натуральных чисел по концентрам: двузначные числа, трехзначные числа и т.д., которое завершается классом миллионов.
При изучении каждого из последующих концентров в центре внимания находится образование новой единицы счета - десятка, сотни, тысячи и т.д., что неразрывно связано с принципами построения десятичной позиционной системы счисления, с овладением устной и письменной нумерацией на множестве натуральных чисел.
В первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении такой величины как длина в первом классе, масса, вместимость, площадь и разнообразных других величин в последующие годы обучения в начальной школе.
Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протяжении всего начального обучения, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа.
Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами. Основными направлениями работы с ними являются: осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел, выделение детьми таких ситуаций в окружающем их мире, относительность их использования, как в жизни, так и в математике.
Арифметический материал
Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание - как разбиение группы на две. Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием.
В дальнейшем сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание - как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, т.е. ответить на вопрос, на сколько одно число больше (меньше) другого.
Одним из центральных вопросов при изучении этих действий является составление таблицы сложения, которая возникает на основе состава чисел первых двух десятков из двух однозначных чисел.
В отличие от традиционной системы внетабличное сложение и вычитание строится не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании основных положений, лежащих в фундаменте алгоритма их выполнения: поразрядности выполнения каждой из этих операций и использования таблицы сложения для вычислений в каждом разряде. Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев.
Во втором классе начинается изучение действий умножения и деления. Первое из них рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, второе - как действие, обратное умножению, при помощи которого по значению произведения и одному множителю можно узнать другой множитель.
В дальнейшем умножение и деление рассматриваются как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого. В связи с решением задач рассматриваются также случаи, приводящие к делению на равные части и делению по содержанию.
Как и при изучении сложения и вычитания одним из важнейших вопросов знакомства с новыми действиями является составление таблицы умножения.
В третьем классе область применения умножения и деления расширяется за счет изучения внетабличного выполнения этих операций: умножения и деления многозначных чисел на однозначное число. В основе изучения этой темы также лежит осознание двух позиций: поразрядности выполнения этих действий и использования таблицы умножения в каждом разряде.
На этом этапе формируется общий подход к выполнению действий умножения и деления, который затем переносится с соответствующими дополнениями на любые числа натурального ряда.
Изучение умножения и деления натуральных чисел завершается в четвертом классе темой умножения и деления на многозначное число. В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части. Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в первом классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе. Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в четвертом классе.
В четвертом классе ученики знакомятся с пятым действием - возведением в степень. Оно рассматривается как действие, заменяющее умножение равных множителей и используется только на множестве натуральных чисел. Это действие также связывается с изучением таких величин как площадь и объем.
Геометрический материл
Основные задачи изучения элементов геометрии:
· развитие плоскостного и пространственного воображения школьников;
· уточнение и обобщение геометрических представлений, полученных в дошкольном детстве, а также вне стен школы;
· обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий (фигура, плоскостные и пространственные фигуры, основные виды плоскостных и пространственных фигур, их иерархическая связь между собой и т.д.);
· подготовка к изучению систематического курса геометрии в основном звене школы.
Величины и их измерение
Перечень изучаемых величин соответствует Стандарту. Их изучение базируется на сравнении объектов. В связи с этим в изучении каждой величины можно выделить следующие этапы:
· сравнение объектов непосредственными действиями (на глаз, приложением, наложением и т.д.) и установление границ возможности использования таких приемов;
· поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы (т.е. при невозможности или значительной затрудненности непосредственных способов сравнения);
· выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок;
· осознание основного правила использования мерок - необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов;
· осознание удобства использования общепринятых мерок и знакомство с ними;
· знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми мерками, и (или) со способами косвенного определения величины.
Изучение этой линии программного материала завершается в четвертом классе составлением таблиц мер изученных величин и соотношений между ними, а также сравнением этих таблиц между собой и с десятичной системой счисления.
Текстовые задачи
Основной подход к работе с задачами выражается в решении задач без соотнесения их со знакомыми, ранее отработанными типами, а на основе распутывания той ситуации, которая отражена в данной конкретной задаче, и перевода ее на язык математических отношений.
Для формирования истинного умения решать задачи ученики, прежде всего, должны научиться работать с текстом:
· определить, является ли предложенный текст задачей, для чего выделить в нем основные признаки этого вида заданий и ее составные элементы установить между ними связи,
· определить количество действий, необходимых для получения ответа на вопрос задачи,
· выбирать действия и их порядок, обосновав свой выбор.
Работа с задачами начинается только во втором классе, первый же год обучения занимает подготовительный период.
Именно эти вопросы образуют одну из основных линий работы с задачами в данной системе.
Вторая линия посвящена различным преобразованиям текста задачи и наблюдениям за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. Сюда входят:
· дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи;
· изменение любого из элементов задачи, представление одной и той же задачи в разных формулировках;
· упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных приводящих к упрощению решения;
· установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них (особенно ценными в этой ситуации являются случаи, когда найденные задачи не идентичны по фабуле).
ОСОБЕННОСТИ УЧЕБНИКА
Учебно-методический комплект состоит из:
· учебника – тетради для 1-го класса (авторы И.И. Аргинская, Е.П.Бененсон, Л.С.Итина);
· учебников для 2, 3, 4 классов (авторы И.И.Аргинская, Е.И.Ивановская);
· тетрадей на печатной основе для 2, 3, 4 классов (авторы Е.П.Бененсон, Л.С.Итина под ред. И.И.Аргинской).
Учебник включает большое количество заданий, по форме близких к игровым – "Найди лишнего", "Выбери похожие", "Найди общую группу", "Найди дорогу в лабиринте", "Восстанови рисунок", "Отгадай загадку" и т.д. Имеют место упражнения, при выполнении которых учащиеся рисуют и раскрашивают. Используются элементы истории возникновения и развития математики; "хитрые" и логические задания; задания, имеющие несколько решений, бесконечное множество решений, не имеющие решений, включающие "провокации"; кроссворды, ребусы, загадки.
Система заданий, заложенная в учебнике, способствует продвижению учеников от наглядно-действенного и наглядно-образного к словесно-образному и словесно-логическому уровням мышления. В начале обучения учащиеся в основном действуют на основе рисунков или реальных предметов, к окончанию деятельность регулируется текстом, не привязанным к рисунку.
Особенного внимания заслуживает стиль общения авторов с учениками. Он продиктован стремлением сформировать в каждом ребенке чувство собственного достоинства, уважения к себе и другим, создать атмосферу истинного интереса к мыслям и мнению каждого участника разворачивающейся беседы, в которой авторы являются равноправными участниками. Отсюда такие формулировки: "Пожалуйста, сделай…", "Постарайся найти…", "Почему ты так думаешь?", "С каким мнением ты согласен? Почему?", "Сделай такой вывод и сравни его с данным. Какой ты считаешь верным? Объясни свой выбор", "Выполни задание способом, который тебе больше нравится" и т.д.