Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2

функция	производная
1.
2 .
3.
4.
5.



функция	производная
6.
7. arccos x


8.

9.

Особые случаи

То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?

1. А. Односторонние производные

Назовем

производной от функции в точке слева, а

производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае “излом”, и в этой точке к графику можно провести две касательные .

2. Б. Бесконечная производная

Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем

и производная равна .

Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

3. В. Несуществование производной

Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому полагая получим

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.

В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.

Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего.

По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д.

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

1. Существование ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, т.е. отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) “внутренность” точки x₀

Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, т.к. теперь

Теорема Ролля. Пусть функция

а) определена и непрерывна на [a,b]

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, т.е. и поэтому . В качестве точки c можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.

ч.т.д.

Формулы Коши и Лагранжа

Теорема. Пусть функции и

а) определены и непрерывны на ;

б) и ;

в)

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по Теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению “в”.

Рассмотрим функцию

Она

а) определена и непрерывна на , т.к. и функции и непрерывны на

б)

в)

Таким образом, для выполнены все условия Теоремы Ролля. Поэтому такая, что

,

но тогда в этой точке

что и дает формулу Коши.

1. Формула Лагранжа

Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид

или

где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.

Заметим, что точка c не обязательно единственная: может быть несколько точек c, удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.

Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трактовать так: существует точка , касательная в которой параллельна секущей, соединяющей точки и .

Дифференциал

Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала.

Напомним, что величина называется приращением функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

Определение 2. Линейная часть приращения функции, т.е. называется дифференциалом функции и обозначается

Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда

Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, т.е.

1. Теорема о дифференцируемости функций

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом .

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

Достаточность. Пусть в точке существует производная

Это, по определению, означает, что

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

Но и поэтому

что и требовалось доказать.

2. Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

т.е. производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

3. Геометрический смысл дифференциала

Вспомним, что есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который противолежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .

Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1.

Действительно

2.

Имеем

3.

Имеем

4.

Имеем

.

5.

Имеем

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , т.е.

,

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя мы двигаем точку на плоскости и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

Отсюда производная от по имеет вид

Сокращая на получим окончательно

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1.

2.

3.

Первые две формулы очевидны. Третью формулу, носящую название формулы Лейбница, мы доказывать не будем. При ее применении следует только иметь ввиду, что производной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, чтоdx, совпадающее с приращением аргументаdx, есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к x dx

.

Скобки у обычно не пишут

Отсюда

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

Имеем

так что

;

В общем случае

Легко показывается по индукции, что

; .