При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров.

Начнем с точечных оценок и рассмотрим оценку произвольного параметра (среднего, дисперсии или какого-то другого) генеральной совокупности, который обозначим a. Оценивая параметр a по выборке, находим такую величину При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , которую принимаем за точечную оценку параметра a. Естественно, при этом стремимся, чтобы оценка была в определенном смысле наилучшей, поэтому к ней предъявляется ряд требований:

1. Состоятельность. Точечная оценка При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки ( При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru ) она стремится к истинному значению параметра a.

В математической статистике показывается, что состоятельной оценкой генерального среднего значения , является выборочное среднее арифметическое , а состоятельной оценкой генеральной дисперсии — выборочная дисперсия . 2.Несмещенность. Оценка При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т. е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке объема n из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению соответствующего генерального параметра a.

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой генерального среднего .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:

для несгруппированных данных При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru

для сгруппированных данных При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru как случайную величину При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru а значения вариант выборки х1, х2,…, хп как одинаково распределенные независимые случайные величины Х1, Х2,…, Хп, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М( При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru ) = а, При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . Оценим вероятность выполнения неравенства При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р ( При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru ) = 2F При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . Тогда , с учетом того, что При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , р ( При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru ) = 2F При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru =

=2F( t ), где При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . Отсюда При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , и предыдущее равенство можно переписать так:

При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . (18.1)

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2F(t) = γ.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , (18.2)

где При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента (см. лекцию 12) с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , где При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- tγ , tγ ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru . Отсюда получаем:

При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров. - student2.ru (18.3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где tγ можно найти по соответствую-щей таблице при заданных п и γ.


Наши рекомендации