Собственные числа и собственные векторы.

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы .

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках , , и найти:

1) координаты точки пересечения медиан;

2) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

3) площадь треугольника;

4) систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

Кривые второго порядка на плоскости.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно . Привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , . Найти:

a) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

д) объем пирамиды SАВС.

Дифференциальное исчисление.

Пределы, непрерывность и разрывы функций.

3.1.1.Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3.1.2.В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

;

Производные функций.

3.2.1.Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)

Приложения производной.

3.3.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

Приближенное решение алгебраических уравнений.

3.4.1.Для уравнения отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность достигнута, если разность между соседними приближениями и удовлетворяет неравенству .

4.Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл.

4.1.1.Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .

Несобственные интегралы.

4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:

Применения определенных интегралов.

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

Приближенное вычисление определенных интегралов.

4.4.1.Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .

Функции нескольких переменных.

Частные производные и дифференциал функции.

5.1.1.Найти дифференциал функции .

5.1.2.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Приложения частных производных.

5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

5.2.2.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

Двойные интегралы.

6.1.1.Изменить порядок интегрирования:

.

6.1.2.Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

6.1.3.Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

Тройные интегралы.

6.2.1.Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

6.2.2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Криволинейные интегралы.

6.3.1.Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

6.3.2.Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля.

Дифференциальные операции.

7.1.1.В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

7.1.2.Найти в точке градиент скалярного поля

.

7.1.3.Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

7.1.4.Найти в точке ротор векторного поля

.