Достоверность коэффициента корреляции

Полученный любым из способов коэффициент корреляции является выборочным, потому что он определен для ограниченной совокупности, которая является выборкой из генеральной совокупности. Поэтому существует ошибка при расчете коэффициента корреляции. Эта ошибка - расхождение между коэффициентом корреляции для генеральной совокупности и коэффициентом для выборки. Эта ошибка определяется следующим образом:

В приведенные выше формулы вместо r можно подставить r или Т₄.

Для определения достоверности коэффициента корреляции используется критерий Стьюдента.

Основные этапы проверки гипотезы о достоверности коэффициента корреляции.

1. Формулировка гипотезы, которую в дальнейшем необходимо принять или отклонить. Но: r=0.

2. Определить расчетное значение t критерия Стьюдента

tрасч

3. Определить табличное критическое значение (приложение 1) tтабл. Для этого необходимо знать:

n=n-2 - число степеней свободы и - уровень значимости.

4. Сравнить значения расчетного коэффициента с табличным

tpacч.ó tтабл.

5. Сделать вывод. Статистическая гипотеза принимается или отвергается.

· если tpacч. ³ tтабл. ( ,n), то полученный коэффициент корреляции достоверен, и между исследуемыми показателями существует статистическая связь с вероятностью q=1- ;

· если tpacч.< tтабл., то полученный коэффициент корреляции недостоверен, и между исследуемыми показателями не существует взаимосвязи.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

При изучении корреляционной связи было отмечено, что коэффициент корреляции показывает степень связи, направление связи, форму связи между двумя исследуемыми выборками, но он не дает возможности определить, как количественно меняется одна величина по мере изменения другой.

Регрессия - это зависимость среднего значения случайной величины У от величины Х и, наоборот, зависимость среднего значения случайной величины Х от величины У, описанная уравнением, полученная путем построения эмпирической или теоретической линии регрессии и с помощью вычисления коэффициентов регрессии. Существует линейная и нелинейная взаимосвязь между исследуемыми показателями, следовательно, можно составить уравнение линейной или нелинейной регрессии.

Существует зависимость между двумя показателями и несколькими. И уравнения регрессии могут быть множественными.

В выборе регрессионной модели помогает графическое представление экспериментальных данных в виде диаграммы рассеяния или корреляционного поля. По выборочным данным составляется корреляционное поле, на которое наносятся также средние значения У в каждом интервале изменения Х. Эти точки соединяются между собой ломаной линией, по виду которой можно судить, как в среднем меняется У в зависимости от изменения Х. Такая ломаная линия называется эмпирической линией регрессии. Затем ломаную линию аппроксимируют прямой линией. При линейной зависимости можно сделать проще: заменить корреляционный эллипс прямой линией.

Линейная регрессия

Линейная регрессия, или линейная форма связи между случайными переменными занимает особое место в теории корреляции. При такой форме связи У есть линейная функция от Х, т. е.

У = а + b×Х ,

где а и b – коэффициенты регрессии, Х – независимая случайная переменная. Линейная регрессия обусловливается двумерным нормальным законом распределения пары случайных величин (Х, У).

Параметры в уравнении регрессии, т. е. коэффициенты регрессии, определяются по способу наименьших квадратов. Суть его заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных величин от истинного значения была бы минимальной.

В случае линейной регрессии за теоретическое значение принимается значение У, получаемое по известной формуле, т. е. ищется такая прямая линия, сумма квадратов отклонений измеренных У_i от которой была бы минимальной.

Значения коэффициентов регрессии определяются решением системы нормальных уравнений.