Определение направления взаимосвязи

Кроме формы взаимосвязи, корреляционное поле позволяет определить направление взаимосвязи (рис. 15):

если между исследуемыми признаками наблюдается прямо пропорциональная зависимость, т. е. с увеличением одного показателя увеличивается и другой, то взаимосвязь положительная;

если же зависимость обратно пропорциональная, т. е. с увеличением одного показателя другой уменьшается, то имеет место отрицательная взаимосвязь.

В первом случае при расчёте коэффициент корреляции получается со знаком «+», а во втором случае – со знаком «-».

Рис 15. Направление связи

Определение степени или тесноты взаимосвязи

Анализ корреляционного поля позволяет определить не только форму и направление взаимосвязи, но и степень зависимости, или тесноту (силу) связи. Ниже приводятся графики при различной степени связи с соответствующими им коэффициентами корреляции при положительной зависимости (рис. 16а) и при отрицательной зависимости (рис. 16б).

Как видно из рисунка, чем ближе корреляционное поле к прямой, тем больше по модулю коэффициент корреляции, значит, тем сильнее зависимость между исследуемыми результатами; а чем ближе форма корреляционного поля к окружности, тем меньше по модулю коэффициент корреляции и тем слабее зависимость между исследуемыми результатами.

По приведённым графикам видно, что в случае, когда коэффициент корреляции равен +1 или -1, то наблюдается функциональная взаимосвязь, т. к. значению одного показателя соответствует только одно значение другого и поэтому никакой вариации на корреляционном поле не наблюдается.

Причём, если в первом ряду представлены виды прямо пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с увеличением другого; то во втором ряду представлены виды обратно пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с уменьшением другого (в среднем).

Таким образом, по виду корреляционного поля можно судить о степени взаимосвязи между исследуемыми показателями и сделать предварительный вывод, который затем подтверждается расчётом коэффициента корреляции, приведённым ниже.

а)

б)

Рис 16. Степень связи

Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r).

Коэффициент детерминации (D)

Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона вычисляется в том случае, когда между показателями исследуемых выборок (Х_i и У_i) существует линейная связь.

Если Х и У независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0. Заметим, что обратное утверждение неверно. Если r = 0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости, но это условие не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (параболической, показательной и др.)

Одна из формул для расчета коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона:

где X_i, Y_i - показатели первой и второй выборок соответственно;

- средние арифметические значения первой и второй выборок соответственно;

- стандартные отклонения первой и второй выборок соответственно;

n - объем каждой выборки.

Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы: < 1.

Коэффициент корреляции характеризует степень зависимости, или тесноту (силу) зависимости между Х и У, чем больше , т. е. чем ближе он к 1, тем сильнее (теснее) связь между изучаемыми признаками, а чем ближе он к 0, тем слабее.

Принято считать, если:

· коэффициент корреляции равен 1, то между исследуемыми признаками наблюдается функциональная связь;

· изменяется от ±0,9 до ± 0,7 - сильная статистическая связь;

· изменяется от ±0,69 до ±0,5 - средняя статистическая связь;

· изменяется от ± 0,49 до ±0,2 - слабая статистическая связь;

· коэффициент корреляции равен нулю - то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

Таким образом, коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона r используется только при наличии линейной взаимосвязи между исследуемыми признаками. Существует несколько видов коэффициентов корреляции: парный линейный коэффициент корреляции Бравэ - Пирсона r, ранговый коэффициент корреляции Спирмэна r, тетрахорический коэффициент сопряженности Т, коэффициент множественной корреляции r_xyz, коэффициент частной корреляции r_xyz.

После вычисления любого из перечисленных выше коэффициентов корреляции, необходимо рассчитать его достоверность с использованием критерия Стьюдента.

В некоторых случаях тесноту связи случайных величин характеризуют коэффициентом детерминации D, равным:

.

Коэффициент детерминации показывает, какой процент взаимосвязи результатов двух выборок объясняется их взаимовлиянием.

Остальная часть (100 - D)% объясняется влиянием других неучтённых факторов.