Характеристики рассеяния результатов измерений
Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значения может характеризовать совершенно различные выборки.
Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости) результатов.
Размах вариации
Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется
R=Xmax - Xmin .
Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах выборки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.
Дисперсия
Определение. Дисперсиейназывается средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.
Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле
s2 = , (1)
где Хi – значение признака, - среднее арифметическое.
Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле
,
где хi – среднее значение i интервала группировки, ni – частоты интервалов.
Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округлении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая формула:
s2 = ,
для сгруппированных данных:
.
Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.
В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются одновременно, используются формулы:
для несгруппированных данных:
s2 = ,
для сгруппированных данных:
.
3. Среднее квадратическое(стандартное)отклонение
Определение. Среднее квадратическое(стандартное) отклонение характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.
Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам
s = ,
s = или s =
.
Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:
,
или
.
Ошибка средней арифметической (ошибка средней)
Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:
.
Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариацииопределяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:
.
Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.